Persamaan linear

Sebuah PDP dikatakan sebagai persamaan linear jika variabel yang tidak diketahui dan turunannya adalah linear. Misalnya, untuk fungsi ${\textstyle u}$ dengan variabel ${\textstyle x}$ dan ${\textstyle y}$, sebuah PDP linear orde kedua dengan bentuk $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$

dengan ${\textstyle a_{i}}$ dan ${\textstyle f}$ adalah fungsi dengan variabel independen ${\textstyle x}$ dan ${\textstyle y}$ saja. Sering kali turunan parsial campuran ${\textstyle u_{x}y}$ dan ${\textstyle u_{y}x}$ akan disamakan, tapi ini tidak diperlukan untuk diskusi tentang linearitas persamaan.

Jika ${\textstyle a_{i}}$ adalah konstan (independen terhadap ${\textstyle x}$ dan ${\textstyle y}$), maka PDP tersebut dikatakan disebut sebagai linear dengan koefisien konstan. Jika ${\textstyle f}$ bernilai 0 di mana pun, maka PDP linear disebut homogenous, jika tidak maka disebut inhomogenous. Ini berbeda dengan homogenisasi asimpotik yang mempelajari tentang efek dari osilasi frekuensi tinggi pada koefisien pada solusi PDP.

Nonlinear equations

Tiga jenis PDP nonlinear adalah semi-linear, quasilinear, dan nonlinear penuh.

Jenis terdekat dengan PDP linear adalah PDP semi-linear, di mana hanya turunan orde tertinggi muncul seperti bagian linear, dengan koefisien adalah fungsi dari variabel independen. Turunan orde lebih rendah dan fungsi yang tidak diketahui mungkin terlihat acak. Misalnya, sebuah persamaan PDP semi-linear orde kedua yang umum dengan dua variabel adalah $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

Pada PDP 'quasilinear, turunan tertinggi juga muncul seperti bagian linear, tapi dengan koefisien yang kemungkinan fungsi terhadap variabel yang tidak diketahui atau turunan dengan orde yang lebih rendah:

$${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

Banyak PDP fundamental pada fisika berjenis quasilinear, seperti persamaan relativitas umum dan Persamaan Navier-Stokes yang mendeskripsikan pergerakan fluida.

Sebuah PDP tanpa properti linear apa pun dikenal sebagai nonlinear penuh, dan memiliki nonlinearitas pada satu atau lebih turunan dengan orde tertinggi. Contohnya adalah Persamaan Monge–Ampère yang muncul dari geometri diferensial.^[1]