Limit tak sebenarnya

Suatu barisan ${\displaystyle (x_{n})}$ dikatakan mendekati takhingga, ditulis ${\displaystyle x_{n}\to \infty }$ atau ${\textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$, jika untuk setiap bilangan real ${\displaystyle K}$, terdapat suatu bilangan bulat ${\displaystyle N}$ sedemikian sehingga untuk setiap ${\displaystyle n\geq N}$, ${\displaystyle x_{n}>K}$; yaitu, suku barisan pada akhirnya akan lebih besar daripada sembarang ${\displaystyle K}$ yang dipilih. Dengan cara yang serupa, ${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$ jika untuk setiap ${\displaystyle K}$, terdapat suatu ${\displaystyle N}$ sehingga untuk setiap ${\displaystyle n\geq N}$, ${\displaystyle x_{n}<K}$.

Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen bukanlah syarat perlu untuk suatu barisan mendekati takhingga atau negatif takhingga, seperti barisan tanda ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$. Perilaku limit barisan divergen yang terbatas dapat ditelaah dengan memperhatikan barisan bagiannya, limit superior dan inferior, serta titik limit.

Contoh-contoh

• Jika ${\displaystyle x_{n}=c}$ untuk suatu konstanta c, maka ${\displaystyle x_{n}\to c}$.^{[bukti 1][7]}
• Jika ${\displaystyle x_{n}=1/{n}}$, maka ${\displaystyle x_{n}\to 0}$.^{[bukti 2][7]}
• Jika ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ untuk ${\displaystyle n}$ genap, dan ${\textstyle x_{n}=1/{n^{2}}}$ untuk ${\displaystyle n}$ ganjil, maka ${\displaystyle x_{n}\to 0}$. (Kenyataan bahwa ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$ apabila ${\displaystyle n}$ ganjil tidak penting.)
• Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan ${\displaystyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,...}$ konvergen menuju ${\displaystyle 1/3}$. Perhatikan bahwa representasi desimal ${\displaystyle 0.3333...}$ adalah limit dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh ${\textstyle 0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}}$.

• Limit suatu barisan tidak selalu dapat ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ (limitnya adalah bilangan e) dan purata aritmetika–geometrik (limitnya 13,458...). Teorema apit sering kali berguna dalam pencarian limit barisan yang sebegini.

Sifat-sifat

• Limit suatu barisan, apabila ada, adalah tunggal.
• Misal diketahui dua barisan konvergen ${\displaystyle x_{n}\to L}$ dan ${\displaystyle y_{n}\to M}$,
  • barisan hasil jumlah atau hasil pengurangan kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan berturut-turut limitnya adalah jumlah atau selilsish limit dua barisan yang diketahui.

  ${\displaystyle (x_{n}\pm y_{n})\to L\pm M}$

  • barisan hasil kali kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.

  ${\displaystyle (x_{n}y_{n})\to LM}$

  • apabila ${\displaystyle M\neq 0}$, barisan hasil bagi kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.

  ${\displaystyle \left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)\to {\frac {L}{M}}}$

• Jika ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ untuk semua ${\displaystyle n}$ lebih besar dari suatu ${\displaystyle N}$, maka ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$.
• Jika ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ untuk semua ${\displaystyle n>N}$, dan ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$, maka ${\textstyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$. (teorema apit)
• Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan itu terbatas.
• Jika suatu barisan terbatas dan monoton, maka barisan itu mempunyai limit (teorema kekonvergenan barisan monoton).
• Suatu barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap barisan bagiannya konvergen.