Awal karier dan Anderlecht

Svilar merupakan produk tim muda Belgia KFCO Wilrijk dan Beerschot A.C., sementara pada tahun 2010 ia bergabung dengan Anderlecht. Pada tanggal 27 Agustus 2015, ia menandatangani kontrak profesional pertamanya dengan klub tersebut.^[3] Ia dipromosikan ke tim utama pada musim 2016–17 sebagai penjaga gawang pilihan ketiga, dia pertama kali dimasukkan dalam skuad hari pertandingan di pertandingan Piala Belgia melawan Charleroi. Ia juga termasuk pemain pengganti yang tidak digunakan dalam kemenangan Anderlecht di Piala Super Belgia 2017.^[4]

Benfica

Svilar menandatangani kontrak lima tahun dengan Benfica pada 28 Agustus 2017.^[5] Pada tanggal 14 Oktober, ia melakukan debutnya bersama klub dalam kemenangan 1-0 atas Olhanense,^[6] dan menjadi penjaga gawang termuda yang pernah bermain untuk Benfica.^[7] Dalam kompetisi internasional, ia memecahkan rekor Iker Casillas sebagai penjaga gawang termuda yang pernah bermain di Liga Champions pada tanggal 18 Oktober 2017, dalam kekalahan kandang 1-0 dari Manchester United, pada usia 18 tahun dan 52 hari.^[8][9] Pada leg kedua melawan Manchester United, usianya 18 tahun dan 65 hari, ia menjadi penjaga gawang termuda yang pernah menyelamatkan penalti dalam pertandingan di kompetisi Liga Champions. Dalam pertandingan yang sama, yang berakhir dengan kekalahan tandang 2-0, ia juga menjadi pemain termuda yang pernah mencetak gol bunuh diri.^[10][11]

Roma

Pada 1 Juli 2022, Svilar menandatangani kontrak dengan Roma hingga 30 Juni 2027.^[12] Pada tanggal 22 Februari 2024, ia menyelamatkan dua penalti selama adu penalti yang berakhir dengan kemenangan 4-2 atas Feyenoord dalam babak gugur Liga Eropa 2023–24.^[13]

Muda

Svilar masuk dalam skuad muda Belgia sejak umur 16 hingga 21 tahun. Ia adalah penjaga gawang pilihan pertama untuk Belgia di Kejuaraan U-17 Eropa UEFA 2016 di Azerbaijan.

Senior

Ia lahir di Belgia dari orang tua Serbia, Svilar memenuhi syarat untuk mewakili Belgia atau Serbia.^[14] Pada 4 November 2017, ia mengumumkan bahwa ia akan memainkan pertandingan pertamanya untuk Serbia pada Maret 2018, saat ia menerima panggilan dari Asosiasi Sepak Bola Serbia.^[15] Pada tanggal 20 Agustus 2021, ia menerima panggilan pertamanya ke tim nasional Serbia,^[16] ia memulai debutnya bersama Serbia dalam kemenangan persahabatan 4-0 atas Qatar pada 1 September 2021.^[17]

Pada tanggal 5 Maret 2024, Svilar dipanggil masuk skuad Serbia setelah absen selama hampir tiga tahun, namun ia dilaporkan menolak panggilan,^[18] dan karena itulah ia dicoret dari skuad akhir.^[19] Pelatih Serbia, Dragan Stojković kemudian berkomentar bahwa Svilar tidak akan menerima panggilan internasional di masa mendatang dari Serbia.^[20]