Pertanyaan Poincaré

Pada abad ke-19, Bernhard Riemann dan Enrico Betti memulai kajian tentang invarian topologi dari lipatan.^[9][10] Mereka memperkenalkan bilangan Betti, yang mengaitkan pada setiap lipatan sebuah daftar bilangan bulat tak-negatif. Riemann menunjukkan bahwa sebuah lipatan dua dimensi yang tertutup dan terhubung dapat sepenuhnya ditentukan melalui bilangan Betti-nya. Sebagai bagian dari makalahnya pada tahun 1895 Analysis Situs (yang pertama kali diumumkan pada 1892), Poincaré menunjukkan bahwa hasil Riemann tidak dapat diperluas begitu saja ke dimensi yang lebih tinggi.^[11][12][13] Untuk itu, ia memperkenalkan grup fundamental sebagai invarian topologis baru, dan menunjukkan contoh lipatan tiga dimensi yang memiliki bilangan Betti sama tetapi grup fundamental berbeda. Di sinilah ia mengajukan pertanyaan: apakah grup fundamental cukup untuk mengkarakterisasi sebuah lipatan (pada dimensi tertentu)? Namun, ia tidak mencoba menjawab pertanyaan itu, hanya menegaskan bahwa jawabannya akan “menuntut kajian panjang dan sukar”.^[12][13][14]

Tujuan utama makalah Poincaré adalah menafsirkan bilangan Betti melalui grup homologi yang baru diperkenalkannya, bersama dengan teorema dualitas Poincaré tentang simetri bilangan Betti. Setelah menerima kritik atas kelemahan argumennya, ia menerbitkan sejumlah “tambahan” (supplements) untuk memperbaiki dan memperdalam pekerjaannya. Pada penutup tambahan keduanya, yang terbit tahun 1900, ia menulis:^[13][15]

Agar tulisan ini tidak berlarut-larut, saya batasi diri hanya menyatakan teorema berikut, yang pembuktiannya akan menuntut pengembangan lebih lanjut:

Setiap polihedron yang seluruh bilangan Bettinya sama dengan 1 dan semua tabelnya T_q dapat diorientasikan adalah sederhana terhubung, yakni homeomorfik dengan sebuah hipersfera.

(Dengan bahasa modern, mengingat Poincaré menggunakan istilah sederhana terhubung dengan makna yang berbeda dari sekarang,^[16] maksudnya adalah: sebuah lipatan terhubung dan tertutup yang terorientasi, dengan homologi sama seperti sfera, haruslah homeomorfik dengan sfera.^[14]) Rumusan ini mengubah generalisasi negatifnya atas karya Riemann dengan dua cara. Pertama, kini ia menggunakan grup homologi penuh, bukan sekadar bilangan Betti. Kedua, ia mempersempit ruang masalah dari pertanyaan apakah lipatan sebarang dapat ditentukan oleh invarian topologis, menjadi apakah sfera dapat dikarakterisasi demikian.

Namun, setelah dipublikasikan ia menyadari bahwa teorema yang ia umumkan itu keliru. Dalam tambahan kelimanya, yang terbit pada 1904, ia membuktikan kekeliruan tersebut lewat contoh tandingan berupa sfera homologi Poincaré, yakni lipatan tiga dimensi tertutup dan terhubung yang memiliki homologi sama seperti sfera, tetapi grup fundamentalnya terdiri atas 120 elemen. Contoh ini memperlihatkan dengan jelas bahwa homologi saja tidak cukup kuat untuk mengkarakterisasi topologi sebuah lipatan. Dalam penutup tambahan kelima itu, Poincaré merevisi teorema keliru tersebut dengan mengganti homologi menggunakan grup fundamental:^[13][17]

Satu pertanyaan tersisa: mungkinkah grup fundamental dari V mereduksi menjadi identitas tanpa V itu sendiri sederhana terhubung? [...] Namun, pertanyaan ini akan membawa kita terlalu jauh.

Dalam pernyataan itu, sebagaimana juga pada penutup tambahan keduanya, Poincaré menggunakan istilah “sederhana terhubung” dengan cara yang tidak sejalan dengan pemakaian modern, bahkan berbeda dengan definisinya sendiri pada 1895.^[12][16] (Menurut penggunaan modern, pertanyaan Poincaré adalah tautologi, seolah bertanya apakah mungkin sebuah lipatan sederhana terhubung tanpa benar-benar sederhana terhubung.) Namun, dari konteks dapat dipahami,^[18] bahwa Poincaré sejatinya menanyakan: apakah trivialitas grup fundamental cukup untuk mengkarakterisasi sfera?^[14]

Sepanjang karya Riemann, Betti, dan Poincaré, gagasan topologis yang mereka gunakan belumlah didefinisikan atau dipakai dengan ketepatan seperti dalam pandangan modern. Bahkan istilah kunci “lipatan” sendiri tidak konsisten digunakan Poincaré, dan kerap terjadi kekaburan antara lipatan topologis, lipatan PL, dan lipatan mulus.^[16][19] Karena itu, pertanyaan Poincaré tidak bisa dibaca secara gamblang tanpa ambiguitas. Baru melalui formalisasi dan perbendaharaan istilah topologi yang dikembangkan matematikawan kemudianlah pertanyaan penutup Poincaré dipahami sebagai “Konjektur Poincaré” seperti yang telah dirumuskan dalam bagian sebelumnya.

Namun, meski lazim dikenal sebagai sebuah konjektur — yakni usulan bahwa semua lipatan dengan sifat tertentu adalah homeomorfik dengan sfera — Poincaré sendiri sejatinya hanya mengajukan pertanyaan terbuka, tanpa pernah berani menebak jawabannya. Lebih jauh, tidak ada bukti yang menunjukkan arah jawaban mana yang sebenarnya ia yakini.^[14]