Dalam matematika, identitas Bézout (atau disebut juga lema Bézout) adalah teorema yang menghubungkan antara sembarang dua bilangan bulat dengan faktor persekutuan terbesarnya, yang dinyatakan sebagai berikut:

Dalam identitas ini, faktor persekutuan terbesar dari ${\displaystyle 0}$ dan ${\displaystyle 0}$ didefinisikan sama dengan ${\displaystyle 0}$. Bilangan bulat ${\displaystyle p}$ dan ${\displaystyle q}$ disebut sebagai koefisien Bézout dari ${\displaystyle (a,\,b)}$, dan nilai ${\displaystyle p}$ serta ${\displaystyle q}$ tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dicari menggunakan algoritma Euklides diperluas, yang menghasilkan salah satu dari dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksaman $${\displaystyle \left|p\right|\leq \left|{\dfrac {b}{\operatorname {FPB} \!\left(a,\,b\right)}}\right|\qquad \qquad \left|q\right|\leq \left|{\dfrac {a}{\operatorname {FPB} \!\left(a,\,b\right)}}\right|}$$ Pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi persamaan hanya jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ atau ${\displaystyle b}$ saling berkelipatan, yang berarti bahwa setidaknya salah satu dari "${\displaystyle a}$ merupakan kelipatan dari ${\displaystyle b}$" atau "${\displaystyle b}$ merupakan kelipatan dari ${\displaystyle a}$" bernilai benar.

Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar dari 15 dan 69 ialah 3, dan 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari 15 dan 69, yaitu ${\displaystyle 3=15\cdot (-9)+69\cdot 2}$, dengan koefisien Bézout −9 dan 2.

Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar merupakan hasil dari identitas Bézout, seperti lema Euclid atau teorema sisa Tiongkok.

Daerah Bézout adalah daerah integral yang berlaku identitas Bézout. Oleh karena setiap daerah ideal utama merupakan daerah Bézout, maka setiap teorema yang dihasilkan dari identitas Bézout akan berlaku untuk setiap daerah ideal utama.

Struktur penyelesaian

Jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ keduanya tidak bernilai nol, serta satu pasang koefisien Bézout ${\displaystyle (p,\,q)}$ telah ditemukan (misalnya dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas), maka setiap pasang koefisien Bézout memiliki bentuk umum $${\displaystyle \left(p-k\cdot {\dfrac {b}{\operatorname {FPB} (a,\,b)}},\,q+k\cdot {\dfrac {a}{\operatorname {FPB} (a,\,b)}}\right)}$$ dengan ${\displaystyle k}$ adalah sembarang bilangan bulat. Perhatikan bahwa pecahan ${\displaystyle {\dfrac {a}{\operatorname {FPB} (a,\,b)}}}$ dan ${\displaystyle {\dfrac {b}{\operatorname {FPB} (a,\,b)}}}$ merupakan bilangan bulat, berdasarkan definisi dari faktor persekutuan terbesar.

Jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ keduanya tidak bernilai nol dan keduanya tidak saling berkelipatan, maka terdapat tepat dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksamaan $${\displaystyle \left|p\right|\leq \left|{\dfrac {b}{\operatorname {FPB} \!\left(a,\,b\right)}}\right|\qquad \qquad \left|q\right|\leq \left|{\dfrac {a}{\operatorname {FPB} \!\left(a,\,b\right)}}\right|}$$ Jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ keduanya bernilai positif, maka salah satu pasang koefisien Bézout ini akan memiliki nilai ${\displaystyle p>0}$ dan ${\displaystyle q<0}$, dan pasangan lainnya akan memiliki nilai ${\displaystyle p<0}$ dan ${\displaystyle q>0}$. Jika ${\displaystyle a>0}$ habis membagi ${\displaystyle b}$ (termasuk kasus ${\displaystyle b=0}$), maka salah satu dari koefisien Bézoutnya ialah ${\displaystyle (1,\,0)}$.

Bukti dari batas atas tersebut memanfaatkan sifat pembagian bersisa: diberikan dua bilangan bulat tak nol ${\displaystyle c}$ dan ${\displaystyle d}$. Jika ${\displaystyle d}$ tidak habis membagi ${\displaystyle c}$, maka

1. terdapat tepat satu pasang bilangan bulat ${\displaystyle (q,\,r)}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle c=dq+r}$ dengan ${\displaystyle 0<r<|d|}$, dan
2. terdapat tepat satu pasang bilangan bulat ${\displaystyle (q',\,r')}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle c=dq'+r'}$ dengan ${\displaystyle -|d|<r'<0}$.

Jika suatu pasang koefisien Bézout ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ dari ${\displaystyle (a,\,b)}$ telah diperoleh, maka dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut dapat diperoleh dengan memilih nilai ${\displaystyle k}$ pada rumus sebelumnya sebagai salah satu dari dua bilangan bulat terdekat dari ${\displaystyle x\cdot {\tfrac {\operatorname {FPB} (a,\,b)}{b}}}$, yaitu ${\displaystyle k=\left\lfloor x\cdot {\tfrac {\operatorname {FPB} (a,\,b)}{b}}\right\rfloor }$ atau ${\displaystyle k=\left\lceil x\cdot {\tfrac {\operatorname {FPB} (a,\,b)}{b}}\right\rceil }$, dengan ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ menyatakan fungsi lantai dan ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ menyatakan fungsi atap.

Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut.

Contoh

Misalkan ${\displaystyle a=12}$ dan ${\displaystyle b=42}$, maka diperoleh ${\displaystyle \operatorname {FPB} (12,\,42)=6}$. Identitas Bézout berikut—dengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnya—ditulis sebagai berikut:

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccccl}&&\vdots \\12&\cdot &({\color {blue}{-17}})&+&42&\cdot &\color {blue}{5}&=6\\12&\cdot &({\color {blue}{-10}})&+&42&\cdot &\color {blue}{3}&=6\\12&\cdot &({\color {red}{-3}})&+&42&\cdot &\color {red}{1}&=6\\12&\cdot &\color {red}{4}&+&42&\cdot &({\color {red}{-1}})&=6\\12&\cdot &\color {blue}{11}&+&42&\cdot &({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\cdot &\color {blue}{18}&+&42&\cdot &({\color {blue}{-5}})&=6\\&&\vdots \end{array}}}$$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle {\tfrac {18}{42/6}}\in \left[2,\,3\right]}$. Jika ${\displaystyle (x,\,y)=(18,\,-5)}$ adalah pasangan asli dari koefisien Bézout, maka pasangan koefisien Bézout minimalnya dapat diperoleh dengan memilih ${\displaystyle k=2}$ atau ${\displaystyle k=3}$, yaitu ${\displaystyle (18-2\cdot 7,\,-5+2\cdot 2)=(4,\,-1)}$ atau ${\displaystyle (18-3\cdot 7,\,-5+3\cdot 2)=(-3,\,1)}$.

Bukti

Diambil sembarang dua bilangan bulat tak nol ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, dan didefinisikan himpunan ${\displaystyle H=\left\{ap+bq\mid p,\,q\in \mathbb {Z} \right\}\cap \mathbb {N} }$ Himpunan ${\displaystyle H}$ tidak kosong, sebab salah satu dari ${\displaystyle a}$ ataupun ${\displaystyle -a}$ merupakan anggota dari ${\displaystyle H}$ (dengan ${\displaystyle p=\pm 1}$ dan ${\displaystyle q=0}$). Oleh karena ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan bagian dari bilangan asli yang tak kosong, maka berdasarkan prinsip urutan rapi, himpunan ${\displaystyle H}$ memiliki elemen terkecil, yaitu ${\displaystyle d=ax+by}$. Untuk membuktikan bahwa ${\displaystyle d}$ merupakan faktor persekutuan terbesar dari ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, maka

1. harus dibuktikan bahwa ${\displaystyle d}$ merupakan faktor persekutuan dari ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, dan
2. untuk sebarang faktor persekutuan lainnya ${\displaystyle c}$, maka berlaku ${\displaystyle c\leq d}$.

Pembagian bersisa dari ${\displaystyle a}$ oleh ${\displaystyle d}$ dapat dinyatakan sebagai $${\displaystyle a=k\cdot d+s}$$ dengan ${\displaystyle 0\leq s<d}$. Perhatikan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=kd+s\\s&=a-kd\\&=a-k(ax+by)\\&=a-akx+bky\\&=a(1-kx)-b(ky)\end{aligned}}}$$ Berdasarkan persamaan di atas, maka${\displaystyle s}$ merupakan bilangan dengan bentuk umum ${\displaystyle ap+bq}$, sehingga ${\displaystyle s\in H\cup \left\{0\right\}}$. Oleh karena ${\displaystyle 0\leq s<d}$ dan ${\displaystyle d}$ adalah bilangan asli terkecil pada himpunan ${\displaystyle H}$, maka ${\displaystyle s\not \in H}$, yang membuat nilai ${\displaystyle s}$ menjadi 0. Akibatnya, ${\displaystyle d}$ merupakan faktor dari ${\displaystyle a}$. Dengan cara yang serupa, maka ${\displaystyle d}$ juga faktor dari ${\displaystyle b}$, sehingga ${\displaystyle d}$ adalah faktor persekutuan dari ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$.

Diambil sebarang faktor persekutuan dari ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, sebut saja ${\displaystyle c}$. Berdasarkan definisi dari faktor bilangan, maka terdapat suatu bilangan bulat ${\displaystyle a'}$ dan ${\displaystyle b}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle a=ca'}$ dan ${\displaystyle b=cb'}$. Perhatikan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}d&=ax+by\\&=(ca')x+(cb')y\\&=c(a'x+b'y)\end{aligned}}}$$ yang menunjukkan bahwa ${\displaystyle c}$ habis membagi ${\displaystyle d}$. Oleh karena ${\displaystyle d>0}$, maka berlaku ${\displaystyle c\leq d}$.

Perumuman

Sejarah dan pengatributan

Matematikawan Prancis, Étienne Bézout (1730–1783), membuktikan identitas Bezout untuk polinomial.^[1] Pernyataan untuk bilangan bulat sudah dapat ditemukan dalam karya milik seorang matematikawan Prancis sebelumnya, Claude Gaspard Bachet de Méziriac.^[2][3][4] Andrew Granville menelusuri pengatributan nama Bézout dengan identitas persamaan tersebut ke Bourbaki, dengan argumen bahwa hal tersebut merupakan atribusi yang salah, sebab identitas tersebut bersifat implisit pada Elements karya Euclid.^[5]

Lihat juga

• Teorema AF+BG
• Persamaan Diophantus
• Lema Euclid
• Teorema dasar aritmetika

Referensi

Pranala luar

• (Inggris) Kalkulator daring untuk identitas Bézout.
• Weisstein, Eric W. "Identitas Bézout". MathWorld.