Keliling dan luas

Suatu persegi yang memiliki empat sisi memiliki panjang ${\displaystyle \ell }$. Rumus kelilingnya adalah ${\displaystyle K=4\ell }$.^[10] Rumus panjang garis diagonal persegi adalah ${\displaystyle d={\sqrt {2}}\ell }$.^[11] Akar kuadrat dari 2, terlihat pada rumus panjang garis diagonal, yang merupakan bilangan irasional, bilangan yang tak dapat dituliskan dalam bentuk pecahan. Akar kuadrat dari 2 kira-kira sama dengan 1,414,^[12] dan pendekatan nilai tersebut sudah diketahui oleh matematikawan Babilonia.^[13] Luas persegi adalah^[11] $${\displaystyle A=\ell ^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}.}$$Rumus luas persegi adalah panjang sisi yang dikuadratkan (atau dipersegikan), yang artinya diberi pangkat dua.^[14] Dengan membalikkan hubungan tersebut, bila diketahui luas persegi, maka panjang sisi persegi adalah akar kuadrat dari luas persegi. Menguadratkan suatu bilangan bulat, atau mengambil luas persegi dengan panjang sisi yang bernilai bilangan bulat, menghasilkan bilangan kuadrat atau bilangan persegi. Bilangan persegi termasuk bilangan figuratif yang merepresentasikan jumlah suatu benda yang disusun membentuk susunan persegi.^[15]

Persegi adalah equable shape [en]. Artinya, luas persegi sama dengan keliling persegi. Karena empat kuadrat sama dengan enam belas, persegi dengan ukuran empat kali empat memiliki luas yang sama dengan keliling. Selain persegi, suatu persegi panjang berukuran tiga kali enam termasuk equable shape.^[16]

Karena persegi merupakan poligon reguler, bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu.^[17] Secara lebih matematis, jika ${\displaystyle L}$ dan ${\displaystyle K}$ masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segiempat, maka berlaku pertidaksamaan isoperimetrik berikut: $${\displaystyle 16L\leq K^{2}}$$dengan persamaan terjadi jika dan hanya jika segiempat tersebut adalah persegi.^[18][19]

Lingkaran dalam dan lingkaran luar

Lingkaran dalam dari suatu persegi adalah lingkaran terbesar yang dapat memuat suatu persegi di dalamnya. Pusat lingkaran dalam adalah pusat persegi, dan jari-jari lingkaran dalam dari suatu persegi adalah ${\displaystyle r=\ell /2}$. Karena lingkaran tersebut menyinggung semua empat sisi persegi (di bagian tengah sisi), persegi adalah segiempat tangensial. Lingkaran luar dari suatu persegi melalui semua empat titik persegi, sehingga persegi adalah segiempat siklik. Jari-jari lingkaran luar dari suatu persegi adalah ${\displaystyle R=\ell /{\sqrt {2}}}$.^[20] Apabila lingkaran dalam dari suatu persegi ${\displaystyle ABCD}$ memiliki titik kesinggungan ${\displaystyle E}$ pada ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle F}$ pada ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle G}$ pada ${\displaystyle CD}$, dan ${\displaystyle H}$ pada ${\displaystyle DA}$, maka untuk suatu titik ${\displaystyle P}$ pada lingkaran dalam, berlaku persamaan^[21]$${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$$Apabila ${\displaystyle d_{i}}$ adalah jarak dari suatu titik sembarang pada bidang ke titik ke-${\displaystyle i}$ suatu persegi dan ${\displaystyle R}$ adalah jari-jari lingkaran luar persegi, maka berlaku persamaan^[22]$${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$ Apabila ${\displaystyle Q}$ dan ${\displaystyle d_{i}}$ masing-masing jarak dari suatu titik sembarang pada bidang ke titik sentroid persegi dan keempat titik persegi, maka$${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$$ dan $${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+Q^{4}),}$$ dengan ${\displaystyle R}$ adalah jari-jari lingkaran luar dari suatu persegi.^[23]

Fakta lain

• Panjang diagonal dari persegi adalah ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi tersebut. Nilai ini, dikenal sebagai akar kuadrat dari 2 dan konstanta Pythagoras,^[1] adalah bilangan pertama yang dibuktikan berupa bilangan irasional.
• Persegi juga dapat didefinisikan sebagai jajar genjang dengan kedua diagonalnya memiliki panjang yang sama dan membagi dua sudut dalam jajar genjang tersebut.
• Jika suatu bangun berupa persegi panjang (memiliki sudut siku-siku) sekaligu belah ketupat (memiliki panjang sisi yang sama), maka bangun tersebut adalah persegi.
• Pengubinan persegi adalah salah satu dari tiga teselasi reguler pada bidang (bangun teselasi lainnya adalah segitiga sama sisi dan heksagon reguler).
• Persegi adalah anggota dari dua keluarga politop di dimensi dua: hiperkubus dan cross-polytope. Simbol Schläfli untuk persegi adalah ${\textstyle \{4\}}$ .
• Persegi adalah objek yang sangat simetris. Persegi memiliki empat garis simetri refleksi, dan simetri rotasi tingkat 4 (0°, 90°, 180° and 270°). Grup simetri dari bangun ini adalah grup dihedral D₄.
• Sebangun persegi dapat dibuat di dalam (inscribed) sebarang poligon regular. Satu-satunya poligon lain dengan sifat ini adalah segitiga sama sisi.
• Jika lingkaran dalam dari persegi ABCD memiliki titik potong E pada sisi AB, F pada BC, G pada CD, dan H pada DA, maka untuk sebarang titik P pada lingkaran dalam tersebut,^[24] ${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$
• Jika ${\displaystyle d_{i}}$ adalah jarak dari berang titik di bidang ke sisi ke-i dari sebangun persegi, dan ${\displaystyle R}$ adalah lingkaran luar dari persegi tersebut, maka^[25] $${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$
• Jika ${\displaystyle L}$ dan ${\displaystyle d_{i}}$ masing-masing menyatakan jarak dari sebarang titik pada bidang ke titik pusat dari persegi dan ke titik pusat dari sisi-sisinya, maka berlaku hubungan ^[26] ${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$ dan ${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$ dengan ${\displaystyle R}$ adalah lingkaran luar dari persegi tersebut.