Karier klub
FC St. Pauli
Pada bulan Agustus 2014, Budimir bergabung dengan klub Jerman FC St. Pauli dari Bundesliga dengan kontrak empat tahun hingga 2018.[5] St. Pauli harus membayar biaya transfer yang diyakini sekitar €900.000.[6] Dalam sebuah wawancara tentang penandatanganan Budimir, mantan pemain internasional Kroasia Jurica Vranješ menggambarkannya sebagai "tinggi, kuat di udara, dan dapat diandalkan dalam kombinasi" dan membandingkan gayanya dengan Dimitar Berbatov.[7] Budimir mengalami masa-masa sulit di St. Pauli, mencetak satu gol dalam 20 penampilan dengan seragam St. Pauli.
Crotone dan Sampdoria
Pada 1 September 2015, Budimir dipinjamkan ke klub Italia Crotone untuk sisa musim ini.[8] Dia melakukan debutnya di Crotone pada 7 September 2015, dengan kekalahan 4-0 dari Cagliari Calcio, masuk sebagai pemain pengganti Pietro De Giorgio pada menit ke-71. Pada bulan Maret 2016, Crotone menggunakan opsi pembelian €1 juta pada pemain tersebut. Budimir mengakhiri musim sebagai pencetak gol terbanyak Crotone dengan 16 gol dalam 40 penampilan Serie B, saat mereka dipromosikan sebagai runner-up di bawah Cagliari; penghitungan ini adalah yang keempat untuk pencetak gol di seluruh musim liga.[9]
Pada bulan Juni 2016, menjelang musim debut Crotone di Serie A, Sampdoria dari liga yang sama mengaktifkan klausul pelepasan Budimir yang diyakini berada di kisaran €1,8 juta, dan sang pemain menandatangani kesepakatan yang berakhir pada pertengahan 2020.[10] Setahun kemudian, dia dikirim kembali ke Crotone dengan status pinjaman satu tahun dengan kewajiban membeli.[11] Kewajiban tersebut dipenuhi oleh Crotone yang kini terdegradasi di akhir musim, dan dia tetap di klub dengan kontrak permanen.
Mallorca
Pada 15 Januari 2019, Budimir dipinjamkan ke klub Spanyol Mallorca.[12] Dia mencetak gol pertamanya untuk klub Balearik pada tanggal 3 Februari sebagai tendangan penalti Panenka dalam kemenangan kandang 2-0 atas AD Alcorcón, kemudian dikeluarkan dari lapangan.[13] Pada tanggal 27 Juni, setelah mencapai promosi ke La Liga – dia mencetak gol pembuka saat mereka membalikkan defisit 2-0 pada leg pertama untuk mengalahkan Deportivo de La Coruña 3-2 secara agregat di final play-off – dia menandatangani kontrak permanen dengan biaya €2,2 juta.[14]
Selama musim 2019-2020, Budimir mencetak 13 gol,[15] yang juga menempatkannya sebagai pencetak gol terbanyak La Liga 2019-20 terbaik ke-8.
Osasuna
Pada 5 Oktober 2020, Budimir dipinjamkan ke tim papan atas CA Osasuna untuk musim 2020-21.[15] Pada 7 Juni 2021, Osasuna mengumumkan penandatanganan Budimir dengan kontrak permanen hingga Juni 2025.[16] Pada musim 2023-24, ia menjadi pencetak gol terbanyak untuk klubnya, dan ia juga mencetak rekor pribadi terbaik baru di La Liga dengan mencetak 17 gol.[17]