Dilatasi adalah salah satu jenis transformasi geometri yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu objek tanpa mengubah bentuknya. Perubahan ukuran ini ditentukan oleh faktor skala ($k$), sedangkan posisi perbesaran atau pengecilan ditentukan oleh titik pusat dilatasi ($P$).
Ketika sebuah persamaan garis didilatasikan, bayangan yang dihasilkan tetap berupa garis lurus, tetapi posisinya bergeser dan gradiennya mungkin tetap (jika pusat dilatasi adalah $(0,0)$) atau berubah sesuai dengan perpindahan dari titik pusat. Kunci untuk menemukan persamaan garis bayangan adalah dengan menyatakan koordinat awal $(x, y)$ dalam bentuk koordinat bayangan $(x’, y’)$ dan mensubstitusikannya kembali ke persamaan garis asal.
Artikel ini akan mengupas tuntas contoh-contoh soal dilatasi persamaan garis dengan dua pusat yang berbeda: titik asal $(0,0)$ dan titik sembarang $(a,b)$.
1. Dilatasi Persamaan Garis dengan Pusat $O(0,0)$
Dilatasi dengan pusat $O(0,0)$ adalah bentuk yang paling sederhana.
Rumus Dasar
Untuk dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k:
$$P(x, y) \xrightarrow{[O, k]} P'(x’, y’)$$
$$\begin{cases} x’ = kx & \Rightarrow x = \frac{x’}{k} \\ y’ = ky & \Rightarrow y = \frac{y’}{k} \end{cases}$$
Contoh Soal 1
Tentukan persamaan bayangan dari garis $3x – 5y + 15 = 0$ yang didilatasikan terhadap pusat $O(0,0)$ dengan faktor skala $k = 5$.
Pembahasan:
- Tentukan hubungan $x$ dan $y$ dengan $x’$ dan $y’$:
- $x’ = 5x \Rightarrow x = \frac{x’}{5}$
- $y’ = 5y \Rightarrow y = \frac{y’}{5}$
- Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal:$$3x – 5y + 15 = 0$$$$3\left(\frac{x’}{5}\right) – 5\left(\frac{y’}{5}\right) + 15 = 0$$
- Sederhanakan persamaan bayangan:$$\frac{3x’}{5} – y’ + 15 = 0$$Untuk menghilangkan penyebut, kalikan seluruh ruas dengan 5:$$3x’ – 5y’ + 75 = 0$$
Jawaban: Persamaan garis bayangannya adalah $3x – 5y + 75 = 0$.
(Catatan: Perhatikan bahwa koefisien $x$ dan $y$ (gradien garis) tetap sama, hanya konstanta yang berubah.)
2. Dilatasi Persamaan Garis dengan Pusat $P(a,b)$
Jika titik pusat dilatasi bukan titik asal, rumusnya menjadi sedikit lebih kompleks karena harus melibatkan pergeseran ke pusat $(a,b)$ terlebih dahulu.
Rumus Dasar
Untuk dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor skala k:
$$P(x, y) \xrightarrow{[P(a,b), k]} P'(x’, y’)$$
$$\begin{cases} x’ = a + k(x – a) & \Rightarrow x = \frac{x’ – a}{k} + a \\ y’ = b + k(y – b) & \Rightarrow y = \frac{y’ – b}{k} + b \end{cases}$$
Contoh Soal 2
Tentukan persamaan bayangan dari garis $4x + y – 5 = 0$ yang didilatasikan terhadap pusat $P(1, -2)$ dengan faktor skala $k = 3$.
Pembahasan:
Diketahui $a = 1$, $b = -2$, dan $k = 3$.
- Tentukan hubungan $x$ dan $y$ dengan $x’$ dan $y’$:
- Untuk x:$$x’ = 1 + 3(x – 1)$$$$x’ – 1 = 3(x – 1)$$$$\frac{x’ – 1}{3} = x – 1$$$$x = \frac{x’ – 1}{3} + 1$$$$x = \frac{x’ – 1 + 3}{3} \Rightarrow x = \frac{x’ + 2}{3}$$
- Untuk y:$$y’ = -2 + 3(y – (-2))$$$$y’ = -2 + 3(y + 2)$$$$y’ + 2 = 3(y + 2)$$$$\frac{y’ + 2}{3} = y + 2$$$$y = \frac{y’ + 2}{3} – 2$$$$y = \frac{y’ + 2 – 6}{3} \Rightarrow y = \frac{y’ – 4}{3}$$
- Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal:$$4x + y – 5 = 0$$$$4\left(\frac{x’ + 2}{3}\right) + \left(\frac{y’ – 4}{3}\right) – 5 = 0$$
- Sederhanakan persamaan bayangan:Kalikan seluruh ruas dengan 3:$$4(x’ + 2) + (y’ – 4) – 15 = 0$$$$4x’ + 8 + y’ – 4 – 15 = 0$$$$4x’ + y’ – 11 = 0$$
Jawaban: Persamaan garis bayangannya adalah $4x + y – 11 = 0$.
3. Soal Kombinasi: Dilatasi dan Faktor Skala Negatif
Faktor skala negatif ($k < 0$) akan menghasilkan bayangan yang berbalik arah dari titik pusat, namun proses perhitungannya tetap sama.
Contoh Soal 3
Tentukan persamaan bayangan dari garis $x – 2y + 4 = 0$ yang didilatasikan terhadap pusat $O(0,0)$ dengan faktor skala $k = -2$.
Pembahasan:
- Tentukan hubungan $x$ dan $y$ dengan $x’$ dan $y’$ ($k=-2$):
- $x’ = -2x \Rightarrow x = -\frac{1}{2}x’$
- $y’ = -2y \Rightarrow y = -\frac{1}{2}y’$
- Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal:$$x – 2y + 4 = 0$$$$\left(-\frac{1}{2}x’\right) – 2\left(-\frac{1}{2}y’\right) + 4 = 0$$
- Sederhanakan persamaan bayangan:$$-\frac{1}{2}x’ + y’ + 4 = 0$$Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh ruas dengan −2 (agar koefisien x′ positif):$$x’ – 2y’ – 8 = 0$$
Jawaban: Persamaan garis bayangannya adalah $x – 2y – 8 = 0$.
4. Tantangan Analitis: Mencari Faktor Skala
Terkadang, yang diketahui adalah garis awal dan garis bayangan, dan kita diminta mencari faktor skala atau pusatnya.
Contoh Soal 4
Garis $2x + 3y – 6 = 0$ didilatasikan dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $k$. Jika persamaan bayangannya adalah $2x + 3y + 18 = 0$, tentukan nilai $k$.
Pembahasan:
- Tentukan hubungan x dan y dengan x′ dan y′:$$x = \frac{x’}{k}$$$$y = \frac{y’}{k}$$
- Substitusikan ke persamaan garis awal:$$2\left(\frac{x’}{k}\right) + 3\left(\frac{y’}{k}\right) – 6 = 0$$
- Sederhanakan (kalikan dengan k):$$2x’ + 3y’ – 6k = 0$$
- Bandingkan dengan persamaan bayangan yang diketahui:Persamaan bayangan dari langkah 3: 2x′+3y′−6k=0Persamaan bayangan yang diketahui: 2x+3y+18=0Koefisien x dan y sudah sama. Kita samakan konstantanya:$$-6k = 18$$$$k = \frac{18}{-6}$$$$k = -3$$
Jawaban: Faktor skala dilatasi adalah $k = -3$.
penulis:Aniss puspita sari
Post Comment