Membongkar Batasan Matematika: Kumpulan Soal Kritis Domain Fungsi Rasional (Pecahan)

Dalam matematika, khususnya pada materi fungsi, domain (daerah asal) adalah set semua nilai input ($x$) di mana fungsi tersebut terdefinisi dan menghasilkan nilai output ($y$) bilangan real. Fungsi rasional, yang didefinisikan sebagai rasio dua polinomial ($f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$), memiliki batasan khusus yang membedakannya dari fungsi linear atau kuadrat biasa.

Batasan utama pada fungsi rasional adalah penyebut tidak boleh nol ($Q(x) \neq 0$). Jika penyebut nol, fungsi akan menjadi tidak terdefinisi atau menghasilkan nilai tak hingga, yang dalam grafik akan berbentuk Asimtot Tegak. Memahami cara menentukan domain fungsi rasional, mulai dari yang sederhana hingga yang melibatkan akar kuadrat, adalah keterampilan dasar yang harus dikuasai.

Artikel ini menyajikan kumpulan contoh soal yang menguji pemahaman Anda dalam menentukan domain fungsi rasional, lengkap dengan pembahasannya.

baca juga:Tips Ampuh Bikin HR Tertarik Sama Skill Spatial Computing Engineer Kamu

1. Dasar-Dasar Domain Fungsi Rasional Sederhana

Pada fungsi rasional sederhana, fokus utama adalah memastikan penyebut tidak sama dengan nol.

Contoh Soal 1 (Pilihan Ganda)

Tentukan domain dari fungsi $f(x) = \frac{3x – 5}{x – 7}$.

A. Df​={x∣x=3,x∈R}

B. Df​={x∣x=5,x∈R}

C. Df​={x∣x=7,x∈R}

D. Df​={x∣x∈R}

Pembahasan:

Syarat agar fungsi rasional terdefinisi adalah penyebutnya tidak boleh nol.

$$x – 7 \neq 0$$

$$x \neq 7$$

Domain fungsi $f(x)$ adalah semua bilangan real kecuali $7$.

Jawaban: C. $D_f = \{x | x \neq 7, x \in \mathbb{R}\}$

2. Domain Fungsi Rasional dengan Penyebut Kuadrat

Ketika penyebut berbentuk persamaan kuadrat, kita perlu mencari akar-akar kuadrat yang menyebabkan penyebut bernilai nol.

Contoh Soal 2 (Pilihan Ganda)

Tentukan domain dari fungsi $g(x) = \frac{x + 1}{x^2 – 5x + 6}$.

A. Dg​={x∣x=2,x=3,x∈R}

B. Dg​={x∣x=−2,x=−3,x∈R}

C. Dg​={x∣x=6,x∈R}

D. Dg​={x∣x=2,x∈R}

Pembahasan:

Syarat domain adalah $x^2 – 5x + 6 \neq 0$.

1. Faktorkan penyebut:$$(x – 2)(x – 3) \neq 0$$
2. Tentukan nilai yang dilarang:$$x – 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$$$x – 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$

Domain fungsi $g(x)$ adalah semua bilangan real kecuali $2$ dan $3$.

Jawaban: A. $D_g = \{x | x \neq 2, x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}$

3. Domain Fungsi Rasional dan Fungsi Irasional (Akar Kuadrat)

Jika fungsi rasional mengandung akar kuadrat (fungsi irasional), ada dua syarat yang harus dipenuhi secara bersamaan:

1. Syarat Pecahan: Penyebut $\neq 0$.
2. Syarat Akar: Ekspresi di dalam akar $\ge 0$.

Contoh Soal 3 (Esai Analitis)

Tentukan domain dari fungsi $h(x) = \frac{x^2 – 4}{\sqrt{2x – 8}}$.

Pembahasan:

Fungsi $h(x)$ mengandung dua batasan: pecahan dan akar kuadrat.

1. Syarat Akar (di dalam akar harus ≥0):$$2x – 8 \ge 0$$$$2x \ge 8$$$$x \ge 4 \quad \text{(Syarat I)}$$
2. Syarat Pecahan (penyebut =0):$$\sqrt{2x – 8} \neq 0$$$$2x – 8 \neq 0$$$$2x \neq 8$$$$x \neq 4 \quad \text{(Syarat II)}$$
3. Gabungkan Syarat I dan Syarat II:Kita harus mencari irisan dari x≥4 dan x=4.Jika $x$ harus lebih besar dari atau sama dengan $4$, tetapi $x$ tidak boleh sama dengan $4$, maka kita harus menghilangkan tanda sama dengan.$$\text{Irisan Syarat I dan II: } x > 4$$

Domain fungsi h(x) adalah:

$$D_h = \{x | x > 4, x \in \mathbb{R}\}$$

4. Soal Gabungan: Pecahan, Akar, dan Polinomial Kompleks

Contoh soal ini menggabungkan syarat pecahan dan akar dalam bentuk yang lebih kompleks.

Contoh Soal 4 (Esai Analitis Lanjutan)

Tentukan domain dari fungsi $k(x) = \frac{\sqrt{x – 3}}{x – 6}$.

Pembahasan:

Fungsi $k(x)$ memiliki dua batasan yang saling bebas:

1. Syarat Akar (Pembilang):Ekspresi di dalam akar harus non-negatif:$$x – 3 \ge 0$$$$x \ge 3 \quad \text{(Syarat I)}$$
2. Syarat Pecahan (Penyebut):Penyebut tidak boleh nol:$$x – 6 \neq 0$$$$x \neq 6 \quad \text{(Syarat II)}$$
3. Gabungkan Syarat I dan Syarat II (Irisan):Kita mencari semua x yang memenuhi x≥3 DAN x=6.Secara grafis, kita mulai dari $3$ ke kanan (tertutup), lalu kita “bolongi” titik $6$.Domain fungsi $k(x)$ adalah $x$ lebih besar atau sama dengan $3$ dan $x$ tidak sama dengan $6$.

Domain fungsi k(x) adalah:

$$D_k = \{x | x \ge 3, x \neq 6, x \in \mathbb{R}\}$$

baca juga:UNIVERSITAS TEKNOKRAT INDONESIA GELAR MABIT PKKMB 2025, SINERGI IMAN DAN ILMU UNTUK MEMBANGUN KARAKTER PEMIMPIN MASA DEPAN

5. Domain Fungsi Rasional dengan Batasan Kuadrat di Bawah Akar

Ini adalah bentuk yang paling rumit, di mana penyelesaian melibatkan pertidaksamaan kuadrat.

Contoh Soal 5 (Esai Kritis)

Tentukan domain dari fungsi $m(x) = \frac{5x}{\sqrt{x^2 – 4}}$.

Pembahasan:

Fungsi $m(x)$ adalah pecahan dan penyebutnya adalah akar kuadrat.

1. Syarat Akar:Ekspresi di dalam akar harus non-negatif:$$x^2 – 4 \ge 0$$$$(x – 2)(x + 2) \ge 0$$Menggunakan garis bilangan, kita peroleh: x≤−2 atau x≥2.
2. Syarat Pecahan:Penyebut tidak boleh nol:$$\sqrt{x^2 – 4} \neq 0$$$$x^2 – 4 \neq 0$$$$(x – 2)(x + 2) \neq 0$$x=2 dan x=−2.
3. Gabungkan Syarat:Kita gabungkan hasil dari poin 1 (x≤−2 atau x≥2) dengan hasil dari poin 2 (x=2 dan x=−2). Ini berarti kita harus menghilangkan tanda sama dengan (≤ dan ≥) dari pertidaksamaan di poin 1.Irisan syaratnya adalah: $x < -2$ atau $x > 2$.

Domain fungsi m(x) adalah:

$$D_m = \{x | x < -2 \text{ atau } x > 2, x \in \mathbb{R}\}$$

penulis:Aniss puspita sari