Barisan bilangan adalah salah satu materi penting dalam Matematika SMA, terutama pada kelas 10 dan kelas 11. Konsep barisan ini menjadi dasar sebelum mempelajari deret, limit barisan, dan aplikasi matematis lainnya. Karena sering muncul dalam ulangan harian, UTS, UAS, hingga latihan soal di platform seperti Brainly, pemahaman tentang barisan bilangan wajib dikuasai. Artikel ini menyajikan penjelasan lengkap mengenai pengertian barisan, jenis-jenis barisan, serta contoh soal barisan bilangan lengkap dengan pembahasannya.
Baca juga : contoh soal pilihan ganda tentang spektrofotometri (khususnya UV‑Vis / spektrofotometri serapan)
Pengertian Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang tersusun menurut aturan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku atau elemen, dan biasanya dinotasikan sebagai U₁, U₂, U₃, …, Uₙ.
Barisan bisa memiliki pola pertambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, atau pola campuran yang mengikuti aturan tertentu. Untuk mengetahui suku ke-n dari suatu barisan, kita perlu memahami pola atau rumus umum (rumus eksplisit) dari barisan tersebut.
Jenis-Jenis Barisan Bilangan yang Dipelajari di SMA
1. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antar suku-sukunya selalu konstan. Selisih tersebut disebut beda (d).
Rumus suku ke-n:
Uₙ = a + (n – 1)d
a = suku pertama
d = beda
2. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio antar suku-sukunya selalu tetap. Rasio tersebut disebut r.
Rumus suku ke-n:
Uₙ = a × rⁿ⁻¹
a = suku pertama
r = rasio
3. Barisan Fibonacci
Barisan Fibonacci adalah barisan di mana setiap suku merupakan jumlah dua suku sebelumnya:
Uₙ = Uₙ₋₁ + Uₙ₋₂
Barisan ini unik karena sering muncul dalam soal-soal penalaran.
4. Barisan Polinomial
Barisan yang mengikuti pola pertambahan tidak konstan, misalnya berpola kuadrat atau kubik.
5. Barisan Campuran
Gabungan dua pola atau lebih, misalnya pola berulang, pola naik kemudian turun, atau pola ganda lainnya.
Contoh Soal Barisan Bilangan SMA dan Pembahasan
Contoh 1: Barisan Aritmetika
Diketahui suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama a = 5 dan beda d = 3. Tentukan suku ke-10 (U₁₀).
Pembahasan:
Gunakan rumus:
Uₙ = a + (n – 1)d
U₁₀ = 5 + (10 – 1) × 3
U₁₀ = 5 + 27 = 32
Jadi, suku ke-10 adalah 32.
Contoh 2: Mencari Beda Barisan Aritmetika
Diketahui U₅ = 17 dan U₁₀ = 32. Tentukan beda d dari barisan tersebut.
Pembahasan:
Gunakan rumus Uₙ = a + (n – 1)d
U₅ = a + 4d = 17
U₁₀ = a + 9d = 32
Kurangkan kedua persamaan:
( a + 9d ) – ( a + 4d ) = 32 – 17
5d = 15 → d = 3
Beda barisannya adalah 3.
Contoh 3: Barisan Geometri
Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama a = 4 dan rasio r = 2. Tentukan suku ke-6 (U₆).
Pembahasan:
Uₙ = a × rⁿ⁻¹
U₆ = 4 × 2⁵
U₆ = 4 × 32 = 128
Suku ke-6 adalah 128.
Contoh 4: Mencari Rasio Barisan Geometri
Diketahui U₂ = 12 dan U₄ = 108. Tentukan r.
Pembahasan:
U₂ = a × r¹ = ar
U₄ = a × r³
Bandingkan:
U₄ / U₂ = r²
108 / 12 = r²
9 = r² → r = 3
Jadi, r = 3.
Contoh 5: Barisan Fibonacci
Diketahui suatu barisan Fibonacci dimulai dari U₁ = 2 dan U₂ = 4. Tentukan U₆.
Pembahasan:
U₃ = U₂ + U₁ = 4 + 2 = 6
U₄ = U₃ + U₂ = 6 + 4 = 10
U₅ = U₄ + U₃ = 10 + 6 = 16
U₆ = U₅ + U₄ = 16 + 10 = 26
Jadi, U₆ = 26.
Contoh 6: Barisan dengan Pola Polinomial
Sebuah barisan didefinisikan oleh rumus Uₙ = n² – 3n + 4. Tentukan U₇.
Pembahasan:
U₇ = 7² – 3(7) + 4
U₇ = 49 – 21 + 4 = 32
Suku ke-7 adalah 32.
Contoh 7: Mencari Rumus Umum Barisan Aritmetika
Diketahui barisan: 7, 10, 13, 16, …
Tentukan rumus umum Uₙ.
Pembahasan:
a = 7
d = 10 – 7 = 3
Rumus:
Uₙ = a + (n – 1)d
Uₙ = 7 + 3(n – 1)
Uₙ = 3n + 4
Contoh 8: Barisan Campuran
Diberikan barisan: 2, 4, 8, 16, 18, 36, 40, 80,…
Pola apa yang membentuknya?
Pembahasan:
Perhatikan pola berulang:
×2, ×2, ×2, +2, ×2, +4, ×2,…
Barisan ini mengikuti pola perkalian 2 tiga kali, lalu penambahan bilangan yang meningkat.
Contoh 9: Suku Tengah Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika memiliki 21 suku dengan suku pertama 3 dan suku terakhir 83. Tentukan suku tengahnya.
Pembahasan:
Suku tengah = U₁₁ (karena ada 21 suku)
Gunakan rumus Uₙ = a + (n – 1)d
Pertama cari beda:
U₂₁ = a + 20d = 83
3 + 20d = 83
20d = 80 → d = 4
U₁₁ = 3 + 10(4) = 43
Jadi suku tengahnya adalah 43.
Contoh 10: Menentukan Banyak Suku
Barisan aritmetika dengan a = 5 dan d = 7 mempunyai suku terakhir 120. Berapa banyak suku barisan tersebut?
Pembahasan:
Gunakan Uₙ = a + (n – 1)d
120 = 5 + (n – 1)(7)
115 = 7(n – 1)
n – 1 = 115 / 7 = 16.428…
Karena n harus bilangan bulat, berarti 120 bukan suku barisan ini.
Contoh seperti ini sering muncul sebagai soal jebakan.
Contoh 11: Barisan Geometri Negatif
Barisan: 16, –8, 4, –2, …
Tentukan suku ke-7.
Pembahasan:
a = 16
r = –8 / 16 = –0.5
U₇ = a × r⁶
U₇ = 16 × (–0.5)⁶
(–0.5)⁶ = 1/64
U₇ = 16 × 1/64 = 1/4
Suku ke-7 adalah 0.25.
Tips Menyelesaikan Soal Barisan Bilangan SMA
- Kenali jenis barisan sejak awal.
- Periksa apakah beda atau rasio konstan.
- Gunakan rumus suku ke-n sesuai jenis barisan.
- Untuk barisan Fibonacci, selalu hitung bertahap.
- Untuk barisan pola unik, amati perubahan antar suku.
- Selalu cek kembali operasi hitungan terutama pada eksponen.
Pentingnya Menguasai Barisan Bilangan
Materi barisan tidak hanya muncul dalam soal matematika di sekolah, tetapi juga pada ujian masuk perguruan tinggi, tes bakat skolastik, kompetisi matematika, hingga berbagai seleksi kerja yang melibatkan penalaran numerik.
Kemampuan memahami pola bilangan, memprediksi elemen berikutnya, dan menggunakan rumus suku ke-n menjadi kompetensi dasar yang sangat berguna.
Penulis : Lina wati
Post Comment