Tempat Kedudukan Akar atau Root Locus adalah sebuah metode grafis yang sangat fundamental dalam bidang rekayasa kendali (control engineering). Metode ini memungkinkan para insinyur dan pelajar untuk memvisualisasikan bagaimana posisi kutub (poles) dari fungsi alih lingkar tertutup (closed-loop transfer function) berubah seiring dengan variasi parameter penguatan (gain) $K$ dari sistem lingkar terbuka (open-loop system).
Memahami tempat kedudukan akar sangat penting karena posisi kutub lingkar tertutup secara langsung menentukan stabilitas, kecepatan respons, dan karakteristik redaman dari sistem kendali. Jika kutub berada di setengah bidang kanan $s$ (Right-Hand Plane/RHP), sistem akan menjadi tidak stabil.
Baca juga: Contoh Soal Penawaran dan Permintaan: Lengkap dengan Jawaban dan Pembahasan
Artikel ini akan membahas secara mendalam konsep dasar, aturan-aturan penggambaran, dan menyajikan beberapa contoh soal tempat kedudukan akar yang sering muncul untuk membantu Anda menguasai topik ini.
Dasar-Dasar Tempat Kedudukan Akar
Sistem kendali umpan balik (feedback control system) yang paling umum memiliki fungsi alih lingkar tertutup $T(s)$ yang didefinisikan sebagai:
$$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$$
Di mana $G(s)$ adalah fungsi alih plant dan $H(s)$ adalah fungsi alih umpan balik. Kutub dari fungsi alih lingkar tertutup $T(s)$ adalah akar-akar dari persamaan karakteristik:
$$1 + G(s)H(s) = 0$$
Persamaan ini dapat ditulis ulang menjadi:
$$G(s)H(s) = -1$$
Jika kita memisahkan $G(s)H(s)$ menjadi $K L(s)$, di mana $L(s)$ adalah bagian yang tidak mengandung $K$, maka:
$$K L(s) = -1$$
Tempat kedudukan akar adalah himpunan semua nilai $s$ di bidang kompleks yang memenuhi dua kondisi berikut seiring dengan perubahan $K$ dari $0$ hingga $\infty$:
- Kondisi Sudut (Angle Condition):$$\angle G(s)H(s) = \angle K L(s) = \pm 180^\circ (2k+1), \text{ untuk } k = 0, 1, 2, \ldots$$
- Kondisi Magnitudo (Magnitude Condition):$$|G(s)H(s)| = |K L(s)| = 1$$
Aturan Utama Penggambaran Tempat Kedudukan Akar
Untuk mempermudah sketsa, ada serangkaian aturan yang harus diikuti. Mempelajari aturan-aturan ini adalah kunci untuk menyelesaikan contoh soal tempat kedudukan akar.
- Jumlah Cabang (Number of Branches): Jumlah total cabang tempat kedudukan akar sama dengan jumlah kutub lingkar terbuka ($P$) atau jumlah nol lingkar terbuka ($Z$), mana yang lebih besar: $\max(P, Z)$.
- Simetri (Symmetry): Tempat kedudukan akar selalu simetris terhadap sumbu nyata (real axis).
- Titik Awal dan Akhir (Starting and Ending Points): Cabang-cabang tempat kedudukan akar dimulai ($K=0$) pada kutub lingkar terbuka dan berakhir ($K=\infty$) pada nol lingkar terbuka atau asimtot menuju tak hingga.
- Bagian pada Sumbu Nyata (Real-Axis Segments): Bagian dari sumbu nyata adalah bagian dari tempat kedudukan akar jika jumlah total kutub dan nol lingkar terbuka di sebelah kanannya adalah ganjil.
- Asimtot (Asymptotes): Jika $P > Z$, ada $P-Z$ cabang yang bergerak menuju tak hingga. Asimtot-asimtot ini berpusat pada Centroid ($\sigma_a$) dan memiliki Sudut Asimtot ($\phi_a$).
$$\sigma_a = \frac{\sum (\text{kutub}) – \sum (\text{nol})}{P – Z}$$
$$\phi_a = \frac{\pm 180^\circ (2k+1)}{P – Z}, \text{ untuk } k = 0, 1, \ldots, P-Z-1$$
- Titik Pisah/Gabung (Breakaway/Break-in Points): Titik di mana cabang-cabang tempat kedudukan akar meninggalkan atau kembali ke sumbu nyata ditemukan dengan menyelesaikan persamaan:$$\frac{dK}{ds} = 0$$dengan $K = -\frac{1}{L(s)}$.
- Titik Perpotongan Sumbu Imajiner ($j\omega$ Crossing): Titik di mana tempat kedudukan akar melintasi sumbu imajiner (batas stabilitas) ditemukan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz pada persamaan karakteristik $1 + G(s)H(s) = 0$.
Contoh Soal Tempat Kedudukan Akar
Mari kita terapkan aturan-aturan di atas pada contoh soal tempat kedudukan akar yang representatif.
Contoh Soal 1: Sistem Orde Dua Sederhana
Soal: Sketsakan tempat kedudukan akar untuk fungsi alih lingkar terbuka $G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+4)}$.
Penyelesaian:
- Kutub dan Nol:
- Kutub ($P=2$): $s_1 = 0$, $s_2 = -4$.
- Nol ($Z=0$): Tidak ada.
- Jumlah Cabang: $P=2$.
- Bagian Sumbu Nyata: Segmen antara $s=0$ dan $s=-4$ adalah bagian dari tempat kedudukan akar karena di sebelah kanan segmen tersebut terdapat 1 kutub (ganjil).
- Asimtot: $P-Z = 2$ asimtot.
- Centroid ($\sigma_a$):$$\sigma_a = \frac{(0) + (-4)}{2} = -2$$
- Sudut Asimtot ($\phi_a$):$$\phi_{a1} = \frac{+180^\circ}{2} = +90^\circ$$$$\phi_{a2} = \frac{-180^\circ}{2} = -90^\circ$$
- Titik Pisah/Gabung: Persamaan karakteristik adalah $s^2 + 4s + K = 0$. Maka $K = -s^2 – 4s$.$$\frac{dK}{ds} = -2s – 4 = 0$$$$s = -2$$Titik pisah terletak di $s = -2$, yang berada di antara kutub dan nol.
Kesimpulan Sketsa: Tempat kedudukan akar dimulai dari $s=0$ dan $s=-4$, bertemu di $s=-2$, dan kemudian berpisah bergerak tegak lurus ke atas dan ke bawah mengikuti asimtot $\pm 90^\circ$.
Contoh Soal 2: Sistem Orde Tiga
Soal: Tentukan tempat kedudukan akar untuk $G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)}$.
Penyelesaian:
- Kutub dan Nol:
- Kutub ($P=3$): $s_1 = 0$, $s_2 = -1$, $s_3 = -2$.
- Nol ($Z=0$): Tidak ada.
- Jumlah Cabang: $P=3$.
- Bagian Sumbu Nyata: Segmen antara $s=0$ dan $s=-1$ dan segmen dari $s=-2$ hingga $-\infty$ adalah bagian dari tempat kedudukan akar.
- Asimtot: $P-Z = 3$ asimtot.
- Centroid ($\sigma_a$):$$\sigma_a = \frac{(0) + (-1) + (-2)}{3} = -1$$
- Sudut Asimtot ($\phi_a$):$$\phi_{a1} = \frac{+180^\circ}{3} = +60^\circ$$$$\phi_{a2} = \frac{-180^\circ}{3} = -60^\circ$$$$\phi_{a3} = \frac{+540^\circ}{3} = +180^\circ$$
- Titik Pisah/Gabung: Persamaan karakteristik $s(s+1)(s+2) + K = 0$, atau $s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$. Maka $K = -s^3 – 3s^2 – 2s$.$$\frac{dK}{ds} = -3s^2 – 6s – 2 = 0$$Akar-akar dari persamaan kuadrat ini adalah titik pisah. Menggunakan rumus kuadrat:$$s_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 4(3)(2)}}{-6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{-6} \approx -0.423 \text{ dan } -1.577$$Titik pisah yang valid ada di $s \approx -0.423$, yang berada di antara $s=0$ dan $s=-1$. Titik $s \approx -1.577$ tidak valid karena berada di segmen yang bukan bagian dari tempat kedudukan akar.
- Perpotongan Sumbu Imajiner ($j\omega$ Crossing): Gunakan kriteria Routh.$$s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$$
| s3 | 1 | 2 |
| $s^2$ | 3 | $K$ |
| $s^1$ | $\frac{6-K}{3}$ | 0 |
| $s^0$ | $K$ |
Agar stabil, semua elemen kolom pertama harus positif.
- $K > 0$
- $\frac{6-K}{3} > 0 \implies K < 6$
Sistem akan stabil jika $0 < K < 6$. Perpotongan terjadi saat $K=6$. Baris $s^2$ menjadi baris nol: $3s^2 + 6 = 0$.
$$s^2 = -2 \implies s = \pm j\sqrt{2}$$
Tempat kedudukan akar melintasi sumbu imajiner pada $s = \pm j\sqrt{2}$ saat $K=6$.
Kesimpulan Sketsa: Dua cabang dari $s=0$ dan $s=-1$ bertemu di $s \approx -0.423$, berpisah dan menuju tak hingga mengikuti asimtot $\pm 60^\circ$ setelah melintasi sumbu imajiner pada $j\sqrt{2}$ (saat $K=6$). Cabang ketiga dari $s=-2$ bergerak ke kiri menuju $-\infty$ mengikuti asimtot $180^\circ$.
Baca juga: Rektor Universitas Teknokrat Indonesia Hadiri Silaknas dan Milad ke-35 ICMI di Bali
Pentingnya Menguasai Tempat Kedudukan Akar
Menguasai contoh soal tempat kedudukan akar memberikan kemampuan untuk:
- Menilai Stabilitas: Mengetahui rentang nilai $K$ yang membuat sistem stabil.
- Merancang Kompensator: Memahami bagaimana penambahan kutub dan nol baru (kompensator) akan memodifikasi bentuk tempat kedudukan akar untuk memenuhi spesifikasi desain.
- Memahami Transien Sistem: Memperkirakan respons transien (overshoot, waktu pengendapan) berdasarkan posisi dominan kutub lingkar tertutup.
Penulis: Aripin
Post Comment