Kupas Tuntas Contoh Soal dan Penyelesaian Parabola untuk Pemahaman Maksimal

Parabola merupakan salah satu materi penting dalam pelajaran matematika, khususnya pada topik fungsi kuadrat. Bentuk kurva yang khas dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari—seperti lintasan bola yang dilempar atau desain antena parabola—membuat konsep ini sangat menarik untuk dipelajari. Dalam artikel ini, kita akan membahas pengertian parabola, rumus umum, dan contoh soal parabola beserta langkah-langkah penyelesaiannya agar kamu lebih mudah memahaminya.

Baca juga: Belajar Otodidak Sampai Kerja Ini Rahasia Masuk

Apa Itu Parabola?

Parabola adalah grafik dari fungsi kuadrat yang memiliki bentuk melengkung simetris. Secara umum, persamaan parabola dapat ditulis sebagai:
y = ax² + bx + c,
dengan:

• a, b, dan c adalah konstanta,
• a ≠ 0 agar grafik berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0, parabola terbuka ke atas. Sebaliknya, jika a < 0, parabola terbuka ke bawah.

Bagian-Bagian Penting dari Parabola

Sebelum menyelesaikan soal, penting untuk memahami elemen-elemen utama parabola:

1. Titik puncak (vertex) – Titik tertinggi atau terendah pada parabola.
   Rumusnya:
   x = -b / (2a) dan y = f(x)
2. Sumbu simetri – Garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian sama.
   Persamaan sumbu simetri: x = -b / (2a)
3. Arah buka parabola – Menentukan ke mana lengkung parabola terbuka (ke atas atau ke bawah).
4. Titik potong dengan sumbu Y – Diperoleh ketika x = 0, hasilnya adalah c.
5. Titik potong dengan sumbu X – Diperoleh dari hasil akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Rumus Umum Parabola

Untuk membantu memahami soal, berikut rumus penting parabola yang perlu kamu ingat:

• Rumus puncak (vertex): V(x,y)=(−b2a,f(−b2a))V(x, y) = (-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))V(x,y)=(−2ab​,f(−2ab​))
• Rumus sumbu simetri: x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​
• Rumus titik potong dengan sumbu Y: (0,c)(0, c)(0,c)
• Rumus titik potong dengan sumbu X: Diperoleh dari akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh Soal 1: Menentukan Titik Puncak Parabola

Soal:
Diketahui persamaan parabola y=2×2−4x+1y = 2x² – 4x + 1y=2×2−4x+1. Tentukan titik puncaknya.

Penyelesaian:
Langkah 1: Tentukan nilai a, b, dan c.
a = 2, b = -4, c = 1

Langkah 2: Cari nilai x puncak menggunakan rumus x=−b/(2a)x = -b / (2a)x=−b/(2a).
x=−(−4)/(2×2)=4/4=1x = -(-4) / (2 × 2) = 4 / 4 = 1x=−(−4)/(2×2)=4/4=1

Langkah 3: Substitusikan nilai x = 1 ke persamaan untuk mencari y.
y=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1y = 2(1)² – 4(1) + 1 = 2 – 4 + 1 = -1y=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1

Jadi, titik puncak parabola adalah (1, -1).

Contoh Soal 2: Menentukan Arah Buka dan Sumbu Simetri

Soal:
Tentukan arah buka dan sumbu simetri dari parabola y=−x2+6x−8y = -x² + 6x – 8y=−x2+6x−8.

Penyelesaian:
Langkah 1: Nilai a = -1 (negatif), maka parabola terbuka ke bawah.
Langkah 2: Cari sumbu simetri dengan rumus x=−b/(2a)x = -b / (2a)x=−b/(2a).
x=−6/(2×−1)=−6/−2=3x = -6 / (2 × -1) = -6 / -2 = 3x=−6/(2×−1)=−6/−2=3

Jadi, parabola terbuka ke bawah dan sumbu simetrinya adalah x = 3.

Contoh Soal 3: Menentukan Titik Potong dengan Sumbu X

Soal:
Tentukan titik potong parabola y=x2−5x+6y = x² – 5x + 6y=x2−5x+6 dengan sumbu X.

Penyelesaian:
Titik potong dengan sumbu X terjadi ketika y = 0.
0=x2−5x+60 = x² – 5x + 60=x2−5x+6
Faktorkan: (x−2)(x−3)=0(x – 2)(x – 3) = 0(x−2)(x−3)=0

Maka, x = 2 dan x = 3.
Jadi, titik potongnya adalah (2, 0) dan (3, 0).

Contoh Soal 4: Menentukan Persamaan Parabola dari Titik-Titik Diketahui

Soal:
Sebuah parabola melalui titik-titik (0, 1), (1, 0), dan (2, 3). Tentukan persamaannya dalam bentuk y=ax2+bx+cy = ax² + bx + cy=ax2+bx+c.

Penyelesaian:
Substitusikan titik-titik ke dalam persamaan umum:
Untuk (0, 1): 1=a(0)2+b(0)+c→c=11 = a(0)² + b(0) + c → c = 11=a(0)2+b(0)+c→c=1
Untuk (1, 0): 0=a(1)2+b(1)+1→a+b+1=00 = a(1)² + b(1) + 1 → a + b + 1 = 00=a(1)2+b(1)+1→a+b+1=0
Untuk (2, 3): 3=a(4)+b(2)+1→4a+2b+1=33 = a(4) + b(2) + 1 → 4a + 2b + 1 = 33=a(4)+b(2)+1→4a+2b+1=3

Dari dua persamaan:

1. a+b=−1a + b = -1a+b=−1
2. 4a+2b=24a + 2b = 24a+2b=2

Eliminasi:
Kalikan persamaan pertama dengan 2 → 2a+2b=−22a + 2b = -22a+2b=−2
Kurangkan dari persamaan kedua → (4a+2b)−(2a+2b)=2−(−2)(4a + 2b) – (2a + 2b) = 2 – (-2)(4a+2b)−(2a+2b)=2−(−2)
Hasil: 2a=4→a=22a = 4 → a = 22a=4→a=2

Substitusi ke a+b=−1a + b = -1a+b=−1:
2+b=−1→b=−32 + b = -1 → b = -32+b=−1→b=−3

Sehingga persamaan parabola adalah y = 2x² – 3x + 1.

Baca juga: FEB Teknokrat Hadirkan Vice President Pegadaian: Bedah Peluang Investasi Emas

Contoh Soal 5: Mencari Nilai Maksimum atau Minimum Parabola

Soal:
Cari nilai maksimum atau minimum dari parabola y=−x2+4x+1y = -x² + 4x + 1y=−x2+4x+1.

Penyelesaian:
Karena a = -1 (negatif), maka parabola terbuka ke bawah → memiliki nilai maksimum.

Rumus nilai maksimum/minimum:
x=−b/(2a)=−4/(2×−1)=2x = -b / (2a) = -4 / (2 × -1) = 2x=−b/(2a)=−4/(2×−1)=2
Substitusikan ke persamaan:
y=−(2)2+4(2)+1=−4+8+1=5y = -(2)² + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5y=−(2)2+4(2)+1=−4+8+1=5

Jadi, nilai maksimumnya adalah 5 pada x = 2.

Penulis: Dena Triana