Selang kemonotonan merupakan salah satu materi penting dalam kalkulus dasar maupun lanjutan. Konsep ini banyak ditemui dalam analisis fungsi, optimasi, turunan, dan grafik fungsi. Banyak siswa awalnya merasa topik ini sulit, padahal jika memahami langkah-langkahnya, selang kemonotonan justru memberikan gambaran visual yang sangat kuat tentang bagaimana sebuah fungsi “bergerak”—apakah ia naik, turun, atau berhenti sejenak.

Artikel ini akan mengupas tuntas mulai dari pengertian selang kemonotonan, cara menentukan selang naik dan turun, hingga berbagai contoh soal yang disertai langkah penyelesaian yang runtut dan mudah dipahami.

Baca juga : Apa Itu Matematika? Sebuah Petualangan Menuju Dunia Logika dan Pengetahuan

1. Apa Itu Selang Kemonotonan?

Selang kemonotonan adalah interval pada suatu fungsi di mana fungsi tersebut menaik (increasing) atau menurun (decreasing). Dengan kata lain, kita memeriksa bagaimana perilaku fungsi terhadap perubahan nilai x pada potongan tertentu dari domain fungsi.

Sebuah fungsi dikatakan:

• Menaik (increasing) jika nilai f(x) bertambah ketika x bertambah.
• Menurun (decreasing) jika nilai f(x) berkurang ketika x bertambah.

Dalam kalkulus, cara yang paling umum untuk menentukan sifat ini adalah dengan menggunakan turunan pertama.

2. Hubungan Turunan Pertama dengan Kemonotonan

Turunan pertama f’(x) menunjukkan laju perubahan fungsi.

• Jika f’(x) > 0, fungsi naik pada interval tersebut.
• Jika f’(x) < 0, fungsi turun pada interval tersebut.
• Jika f’(x) = 0, fungsi bisa mencapai titik puncak (maksimum lokal), lembah (minimum lokal), atau titik stasioner lainnya.

Maka langkah utama menentukan selang kemonotonan adalah:

1. Cari turunan pertama f’(x).
2. Tentukan critical point, yaitu titik ketika
   • f’(x) = 0, atau
   • f’(x) tidak terdefinisi.
3. Buat tabel tanda (sign chart).
4. Tentukan interval di mana f’(x) bernilai positif dan negatif.

3. Langkah Umum Menentukan Selang Kemonotonan

Berikut langkah versi sederhana dan praktis:

Langkah 1: Turunkan fungsi

Hitung f’(x) menggunakan aturan turunan.

Langkah 2: Tentukan titik kritis

Setel f’(x) = 0 dan cari nilainya.

Langkah 3: Bagi bilangan real menjadi interval

Gunakan titik kritis sebagai pembatas interval.

Langkah 4: Uji tanda turunan

Ambil nilai x pada setiap interval dan cek tanda f’(x).

Langkah 5: Simpulkan interval naik dan turun

• Positif = naik
• Negatif = turun

4. Contoh Soal Selang Kemonotonan (Disertai Pembahasan Lengkap)

Contoh Soal 1

Tentukan selang kemonotonan dari fungsi berikut:
f(x) = x² – 4x + 3

Penyelesaian

Langkah 1: Cari turunan pertama
f’(x) = 2x – 4

Langkah 2: Tentukan titik kritis
2x – 4 = 0
x = 2

Langkah 3: Tentukan interval
Titik kritis x = 2 membagi garis bilangan menjadi:

• (-∞, 2)
• (2, +∞)

Langkah 4: Tes tanda

Ambil nilai di masing-masing interval:

• Untuk x = 0 → f’(0) = -4 → negatif
• Untuk x = 3 → f’(3) = 2 → positif

Langkah 5: Kesimpulan

• Fungsi menurun pada (-∞, 2)
• Fungsi menaik pada (2, +∞)

Contoh Soal 2

Tentukan selang naik dan turun fungsi berikut:
f(x) = 3x³ – 6x² + 1

Penyelesaian

Langkah 1: Turunan pertama
f’(x) = 9x² – 12x

Langkah 2: Titik kritis
Setel f’(x) = 0:

9x² – 12x = 0
3x(3x – 4) = 0

Maka titik kritisnya:

• x = 0
• x = 4/3

Langkah 3: Interval

• (-∞, 0)
• (0, 4/3)
• (4/3, +∞)

Langkah 4: Tes tanda

• x = -1 → f’(x) = positif
• x = 1 → f’(x) = negatif
• x = 2 → f’(x) = positif

Langkah 5: Kesimpulan

• Menaik pada (-∞, 0)
• Menurun pada (0, 4/3)
• Menaik pada (4/3, +∞)

Contoh Soal 3

Tentukan selang kemonotonan fungsi berikut:
f(x) = (x – 1)² (x + 2)

Penyelesaian

Langkah 1: Turunan pertama
Gunakan aturan perkalian:

f(x) = (x – 1)² (x + 2)

f’(x) = 2(x – 1)(x + 2) + (x – 1)² (1)
f’(x) = (x – 1)[2(x + 2) + (x – 1)]
f’(x) = (x – 1)(2x + 4 + x – 1)
f’(x) = (x – 1)(3x + 3)
f’(x) = 3(x – 1)(x + 1)

Langkah 2: Titik kritis

3(x – 1)(x + 1) = 0
x = -1, x = 1

Langkah 3: Interval

• (-∞, -1)
• (-1, 1)
• (1, +∞)

Langkah 4: Uji tanda

• x = -2 → f’(x) positif
• x = 0 → f’(x) negatif
• x = 2 → f’(x) positif

Kesimpulan:

• Menaik pada (-∞, -1)
• Menurun pada (-1, 1)
• Menaik pada (1, +∞)

5. Tips Memahami Selang Kemonotonan dengan Mudah

1. Fokus pada turunan pertama

Semakin sering menghitung turunan, semakin mudah menentukan tanda.

2. Jangan lupa buat garis bilangan

Visual membantu memahami interval.

3. Gunakan nilai uji yang sederhana

Pilih angka yang paling mudah—0, 1, -1, atau angka bulat terdekat.

4. Ingat pola dasar fungsi kuadrat

Banyak fungsi dasar memberi gambaran umum tentang naik dan turun.

Baca juga : Universitas Teknokrat Indonesia Dukung Penuh Lampung Fest 2025, Ajang Kolaborasi Besar Pariwisata dan Ekonomi Kreatif Lampung

6. Penutup

Selang kemonotonan sebenarnya bukan topik yang rumit jika mengikuti langkah per langkah. Konsep dasarnya hanya tentang memeriksa tanda turunan pertama pada interval tertentu. Dengan memahami konsep ini, kamu akan lebih mudah membaca grafik fungsi, memahami titik ekstrem, dan mengerjakan soal kalkulus lainnya.

Contoh-contoh di atas menunjukkan variasi soal dari yang sederhana hingga sedikit lebih kompleks. Kamu dapat melatih diri dengan mencoba fungsi lain dan melakukan langkah yang sama: turunkan → cari titik kritis → uji interval → simpulkan naik atau turun.

Penulis : adilah az-zahra