3 Contoh Soal Barisan Aritmatika dan Cara Mudah Menyelesaikannya

Barisan aritmatika merupakan salah satu materi dasar dalam matematika yang sering muncul di sekolah maupun ujian seperti UTBK, SBMPTN, hingga ujian nasional. Memahami konsep ini bukan hanya membantu dalam menyelesaikan soal matematika, tapi juga melatih kemampuan logika dan analisis kita. Pada artikel ini, kita akan membahas 3 contoh soal barisan aritmatika beserta cara mudah menyelesaikannya agar lebih mudah dipahami, bahkan bagi pemula sekalipun.

Apa Itu Barisan Aritmatika?

Sebelum masuk ke contoh soal, penting untuk memahami apa itu barisan aritmatika. Secara sederhana, barisan aritmatika adalah deret bilangan yang selisih antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya selalu sama. Selisih ini disebut beda (d).

baca juga:Contoh Soal Tekanan Hidrolik: Rumus, Jawaban, dan Pembahasan Lengkap

Contoh:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Jika diperhatikan, selisih antara setiap bilangan adalah 3. Maka, beda (d) dari barisan ini adalah 3.

Rumus umum barisan aritmatika:$$U_n = a + (n-1)d$$Un​=a+(n−1)d

Keterangan:

• $U_n$Un​ = suku ke-n
• $a$a = suku pertama
• $d$d = beda antar suku
• $n$n = nomor suku

Selain itu, kita juga bisa menghitung jumlah n suku pertama barisan aritmatika dengan rumus:$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + U_n)$$Sn​=2n​⋅(a+Un​)

atau$$S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a + (n-1)d]$$Sn​=2n​⋅[2a+(n−1)d]

Dengan rumus ini, menyelesaikan soal barisan aritmatika jadi lebih mudah.

Contoh Soal 1: Mencari Suku Ke-n

Soal:
Diketahui barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, …
Tentukan suku ke-10 dari barisan ini.

Langkah Penyelesaian:

1. Identifikasi suku pertama ($a$a) dan beda ($d$d):
   • $a = 3$a=3
   • $d = 7 – 3 = 4$d=7−3=4
2. Gunakan rumus suku ke-n:

$$U_n = a + (n-1)d$$Un​=a+(n−1)d

3. Masukkan nilai $n = 10$n=10:

$$U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4$$U10​=3+(10−1)⋅4 $$U_{10} = 3 + 9 \cdot 4$$U10​=3+9⋅4 $$U_{10} = 3 + 36$$U10​=3+36 $$U_{10} = 39$$U10​=39

Jawaban:
Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 39.

✅ Tips Mudah: Selalu tulis langkah perhitungan satu per satu agar tidak bingung, terutama pada soal ujian.

Contoh Soal 2: Mencari Jumlah Suku Pertama

Soal:
Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan tersebut.

Langkah Penyelesaian:

1. Identifikasi suku pertama ($a$a), beda ($d$d), dan banyaknya suku ($n$n):
   • $a = 5$a=5
   • $d = 3$d=3
   • $n = 20$n=20
2. Gunakan rumus jumlah n suku pertama:

$$S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a + (n-1)d]$$Sn​=2n​⋅[2a+(n−1)d]

3. Masukkan nilai:

$$S_{20} = \frac{20}{2} \cdot [2 \cdot 5 + (20-1) \cdot 3]$$S20​=220​⋅[2⋅5+(20−1)⋅3] $$S_{20} = 10 \cdot [10 + 19 \cdot 3]$$S20​=10⋅[10+19⋅3] $$S_{20} = 10 \cdot [10 + 57]$$S20​=10⋅[10+57] $$S_{20} = 10 \cdot 67$$S20​=10⋅67 $$S_{20} = 670$$S20​=670

Jawaban:
Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah 670.

✅ Tips Mudah: Gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$Sn​=2n​(a+Un​) jika suku terakhir ($U_n$Un​) sudah diketahui, ini lebih cepat.

Contoh Soal 3: Menentukan Suku Pertama dan Beda

Soal:
Jumlah 5 suku pertama sebuah barisan aritmatika adalah 35, dan suku ke-5 adalah 11. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut.

Langkah Penyelesaian:

1. Gunakan rumus suku ke-n:

$$U_5 = a + 4d = 11$$U5​=a+4d=11 $$a + 4d = 11 \quad …(1)$$a+4d=11…(1)

2. Gunakan rumus jumlah 5 suku pertama:

$$S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2a + 4d) = 35$$S5​=25​⋅(2a+4d)=35 $$\frac{5}{2} (2a + 4d) = 35$$25​(2a+4d)=35

Kalikan kedua sisi dengan 2:$$5 \cdot (2a + 4d) = 70$$5⋅(2a+4d)=70 $$2a + 4d = 14 \quad …(2)$$2a+4d=14…(2)

3. Sekarang kita punya dua persamaan:

• Persamaan (1): $a + 4d = 11$a+4d=11
• Persamaan (2): $2a + 4d = 14$2a+4d=14

4. Kurangi persamaan (2) dengan persamaan (1):

$$(2a + 4d) – (a + 4d) = 14 – 11$$(2a+4d)−(a+4d)=14−11 $$a = 3$$a=3

5. Masukkan nilai $a = 3$a=3 ke persamaan (1):

$$3 + 4d = 11$$3+4d=11 $$4d = 8$$4d=8 $$d = 2$$d=2

Jawaban:
Suku pertama $a = 3$a=3 dan beda $d = 2$d=2.

✅ Tips Mudah: Saat menghadapi soal yang meminta lebih dari satu variabel, buat persamaan matematika dan selesaikan sistem persamaan langkah demi langkah.

Strategi Cepat Menyelesaikan Soal Barisan Aritmatika

Agar lebih efektif dalam menjawab soal, ada beberapa strategi cepat yang bisa digunakan:

1. Selalu tulis suku pertama dan beda: Jangan langsung menebak, selalu identifikasi $a$a dan $d$d.
2. Gunakan rumus yang tepat:
   • Suku ke-n: $U_n = a + (n-1)d$Un​=a+(n−1)d
   • Jumlah n suku: $S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$Sn​=2n​(2a+(n−1)d)
3. Periksa jawaban: Cek dengan menghitung beberapa suku pertama.
4. Latihan soal: Semakin sering latihan, semakin cepat mengenali pola barisan.
5. Gambar pola bila perlu: Membuat diagram atau tabel bisa membantu memahami urutan suku.

baca juga:CoE Metaverse Universitas Teknokrat Indonesia, Kampus Terbaik di Lampung, Gelar PKM “AI for Metaverse Creation” di SMK Budi Karya Natar

Kesimpulan

Barisan aritmatika merupakan materi dasar namun penting dalam matematika. Dengan memahami rumus suku ke-n dan rumus jumlah n suku pertama, kita bisa menyelesaikan berbagai soal dengan mudah.

Dalam artikel ini, kita telah membahas 3 contoh soal barisan aritmatika:

1. Mencari suku ke-n
2. Mencari jumlah n suku pertama
3. Menentukan suku pertama dan beda

Selain itu, strategi cepat seperti menuliskan $a$a dan $d$d, serta menggunakan rumus yang tepat akan sangat membantu dalam menghadapi ujian.

penulis:putra