Turunan atau diferensial merupakan salah satu materi penting dalam kalkulus dan matematika tingkat SMA maupun perkuliahan awal. Konsep ini sering muncul dalam ujian sekolah, ujian masuk perguruan tinggi, hingga tes kompetensi akademik. Banyak siswa yang kesulitan memahami turunan karena dianggap rumit, padahal jika dipahami secara bertahap, turunan bisa dikuasai dengan mudah. Artikel ini akan membahas secara lengkap pengertian turunan, rumus dasar turunan, serta contoh soal turunan pilihan ganda beserta pembahasannya agar kamu lebih siap menghadapi ujian.
Baca juga:Lolos PK: Kuasai Contoh Soal Promkes Ini
Pengertian Turunan
Turunan adalah ukuran perubahan suatu fungsi terhadap variabelnya. Dalam istilah sederhana, turunan menunjukkan seberapa cepat suatu fungsi berubah ketika nilai x berubah sedikit.
Jika y=f(x)y = f(x)y=f(x), maka turunan fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai f′(x)f'(x)f′(x) atau dydx\frac{dy}{dx}dxdy.
Secara matematis, turunan didefinisikan sebagai limit berikut: f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) – f(x)}{h}f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
Namun, dalam praktiknya kita tidak selalu menggunakan definisi limit untuk menghitung turunan, karena sudah ada aturan dan rumus dasar turunan yang dapat digunakan langsung.
Rumus Dasar Turunan yang Harus Dihafal
- Jika f(x)=kf(x) = kf(x)=k (konstanta), maka f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0
- Jika f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn, maka f′(x)=nxn−1f'(x) = n x^{n-1}f′(x)=nxn−1
- Jika f(x)=kxnf(x) = kx^nf(x)=kxn, maka f′(x)=knxn−1f'(x) = knx^{n-1}f′(x)=knxn−1
- Jika f(x)=u(x)+v(x)f(x) = u(x) + v(x)f(x)=u(x)+v(x), maka f′(x)=u′(x)+v′(x)f'(x) = u'(x) + v'(x)f′(x)=u′(x)+v′(x)
- Jika f(x)=u(x)⋅v(x)f(x) = u(x) \cdot v(x)f(x)=u(x)⋅v(x), maka f′(x)=u′v+uv′f'(x) = u’v + uv’f′(x)=u′v+uv′
- Jika f(x)=u(x)v(x)f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}f(x)=v(x)u(x), maka f′(x)=u′v−uv′v2f'(x) = \frac{u’v – uv’}{v^2}f′(x)=v2u′v−uv′
- Jika f(x)=sinxf(x) = \sin xf(x)=sinx, maka f′(x)=cosxf'(x) = \cos xf′(x)=cosx
- Jika f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx, maka f′(x)=−sinxf'(x) = -\sin xf′(x)=−sinx
- Jika f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex, maka f′(x)=exf'(x) = e^xf′(x)=ex
- Jika f(x)=lnxf(x) = \ln xf(x)=lnx, maka f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}f′(x)=x1
Dengan memahami rumus-rumus di atas, kamu dapat mengerjakan berbagai jenis soal turunan dengan lebih mudah.
Jenis Soal Turunan yang Sering Muncul
Dalam ujian, soal turunan biasanya dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu:
- Turunan fungsi polinomial, seperti y=3×3+2×2−5x+1y = 3x^3 + 2x^2 – 5x + 1y=3×3+2×2−5x+1
- Turunan fungsi trigonometri, seperti y=sinx+cosxy = \sin x + \cos xy=sinx+cosx
- Turunan fungsi rasional, seperti y=x2+1xy = \frac{x^2 + 1}{x}y=xx2+1
- Turunan fungsi eksponensial dan logaritma, seperti y=e2xy = e^{2x}y=e2x atau y=ln(3x)y = \ln(3x)y=ln(3x)
- Turunan fungsi hasil kali dan hasil bagi
- Aplikasi turunan, misalnya menentukan gradien garis singgung atau nilai maksimum-minimum fungsi.
Berikut ini adalah kumpulan contoh soal turunan pilihan ganda beserta pembahasannya.
Contoh Soal 1: Turunan Fungsi Polinomial
Diketahui f(x)=3×3−5×2+2x−7f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7f(x)=3×3−5×2+2x−7. Nilai f′(x)f'(x)f′(x) adalah …
A. 9×2−10x+29x^2 – 10x + 29×2−10x+2
B. 6×2−5x+26x^2 – 5x + 26×2−5x+2
C. 3×2−10x+23x^2 – 10x + 23×2−10x+2
D. 9x−10x+19x – 10x + 19x−10x+1
Pembahasan:
Gunakan aturan turunan pangkat: (xn)′=nxn−1(x^n)’ = nx^{n-1}(xn)′=nxn−1. f′(x)=(3×3)′−(5×2)′+(2x)′−(7)′f'(x) = (3x^3)’ – (5x^2)’ + (2x)’ – (7)’f′(x)=(3×3)′−(5×2)′+(2x)′−(7)′ f′(x)=9×2−10x+2−0=9×2−10x+2f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 – 0 = 9x^2 – 10x + 2f′(x)=9×2−10x+2−0=9×2−10x+2
Jawaban: A
Contoh Soal 2: Turunan Fungsi Trigonometri
Jika f(x)=sinx+cosxf(x) = \sin x + \cos xf(x)=sinx+cosx, maka f′(x)f'(x)f′(x) adalah …
A. cosx−sinx\cos x – \sin xcosx−sinx
B. sinx−cosx\sin x – \cos xsinx−cosx
C. cosx+sinx\cos x + \sin xcosx+sinx
D. −sinx−cosx-\sin x – \cos x−sinx−cosx
Pembahasan:
Gunakan rumus dasar turunan trigonometri: (sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx(\sin x)’ = \cos x, \quad (\cos x)’ = -\sin x(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx
Maka f′(x)=cosx−sinxf'(x) = \cos x – \sin xf′(x)=cosx−sinx
Jawaban: A
Contoh Soal 3: Turunan Fungsi Rasional
Jika y=x2+1xy = \frac{x^2 + 1}{x}y=xx2+1, maka dydx=\frac{dy}{dx} =dxdy= …
A. 1−1×21 – \frac{1}{x^2}1−x21
B. 2x−x2+1x22x – \frac{x^2 + 1}{x^2}2x−x2x2+1
C. 1+1×21 + \frac{1}{x^2}1+x21
D. x−1x2x – \frac{1}{x^2}x−x21
Pembahasan:
Gunakan aturan hasil bagi: (uv)′=u′v−uv′v2\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}(vu)′=v2u′v−uv′
Dengan u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1 dan v=xv = xv=x: u′=2x,v′=1u’ = 2x, \quad v’ = 1u′=2x,v′=1 y′=(2x)(x)−(x2+1)(1)x2=2×2−x2−1×2=x2−1×2=1−1x2y’ = \frac{(2x)(x) – (x^2 + 1)(1)}{x^2} = \frac{2x^2 – x^2 – 1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} = 1 – \frac{1}{x^2}y′=x2(2x)(x)−(x2+1)(1)=x22x2−x2−1=x2x2−1=1−x21
Jawaban: A
Contoh Soal 4: Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Tentukan turunan dari f(x)=e2xf(x) = e^{2x}f(x)=e2x.
A. 2e2x2e^{2x}2e2x
B. e2x+2xe^{2x} + 2xe2x+2x
C. exe^{x}ex
D. 2xex2xe^{x}2xex
Pembahasan:
Gunakan aturan rantai (chain rule):
Jika f(x)=eg(x)f(x) = e^{g(x)}f(x)=eg(x), maka f′(x)=g′(x)eg(x)f'(x) = g'(x)e^{g(x)}f′(x)=g′(x)eg(x).
Di sini, g(x)=2xg(x) = 2xg(x)=2x, maka g′(x)=2g'(x) = 2g′(x)=2.
Sehingga: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}f′(x)=2e2x
Jawaban: A
Contoh Soal 5: Turunan Fungsi Logaritma
Diketahui f(x)=ln(3x+2)f(x) = \ln(3x + 2)f(x)=ln(3x+2). Turunannya adalah …
A. 13x+2\frac{1}{3x + 2}3x+21
B. 33x+2\frac{3}{3x + 2}3x+23
C. 1x+2\frac{1}{x + 2}x+21
D. 3x\frac{3}{x}x3
Pembahasan:
Gunakan aturan turunan logaritma dan rantai:
Jika f(x)=ln(g(x))f(x) = \ln(g(x))f(x)=ln(g(x)), maka f′(x)=g′(x)g(x)f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}f′(x)=g(x)g′(x).
Di sini g(x)=3x+2g(x) = 3x + 2g(x)=3x+2, sehingga g′(x)=3g'(x) = 3g′(x)=3. f′(x)=33x+2f'(x) = \frac{3}{3x + 2}f′(x)=3x+23
Jawaban: B
Contoh Soal 6: Turunan Hasil Kali Fungsi
Jika f(x)=(x2+1)(x−3)f(x) = (x^2 + 1)(x – 3)f(x)=(x2+1)(x−3), maka f′(x)=f'(x) =f′(x)= …
A. 2x(x−3)+(x2+1)2x(x – 3) + (x^2 + 1)2x(x−3)+(x2+1)
B. 2x(x−3)+(x2+1)×12x(x – 3) + (x^2 + 1) \times 12x(x−3)+(x2+1)×1
C. 3×2−6x+13x^2 – 6x + 13×2−6x+1
D. 2x(x−3)+(x2+1)2x(x – 3) + (x^2 + 1)2x(x−3)+(x2+1)
Pembahasan:
Gunakan aturan hasil kali: (uv)′=u′v+uv′(uv)’ = u’v + uv'(uv)′=u′v+uv′
Dengan u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1, v=x−3v = x – 3v=x−3 u′=2x,v′=1u’ = 2x, \quad v’ = 1u′=2x,v′=1 f′(x)=(2x)(x−3)+(x2+1)(1)f'(x) = (2x)(x – 3) + (x^2 + 1)(1)f′(x)=(2x)(x−3)+(x2+1)(1) f′(x)=2×2−6x+x2+1=3×2−6x+1f'(x) = 2x^2 – 6x + x^2 + 1 = 3x^2 – 6x + 1f′(x)=2×2−6x+x2+1=3×2−6x+1
Jawaban: C
Contoh Soal 7: Aplikasi Turunan – Gradien Garis Singgung
Diketahui fungsi f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x – 3f(x)=x2+2x−3. Tentukan gradien garis singgung pada titik x = 1.
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
Pembahasan:
Cari turunan fungsi: f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2f′(x)=2x+2
Substitusikan x=1x = 1x=1: f′(1)=2(1)+2=4f'(1) = 2(1) + 2 = 4f′(1)=2(1)+2=4
Jadi gradien garis singgung di titik x = 1 adalah 4.
Jawaban: C
Tips Cepat Menghadapi Soal Turunan Pilihan Ganda
- Pahami bentuk fungsi terlebih dahulu — tentukan apakah itu fungsi pangkat, trigonometri, eksponensial, atau gabungan.
- Gunakan aturan rantai, hasil kali, atau hasil bagi dengan hati-hati.
- Sederhanakan fungsi sebelum diturunkan agar perhitungan lebih mudah.
- Perhatikan tanda negatif pada turunan fungsi trigonometri seperti cosx\cos xcosx dan tanx\tan xtanx.
- Latihan rutin dengan berbagai variasi soal akan membantu meningkatkan kecepatan dan ketepatan dalam ujian.
Kesimpulan
Turunan adalah konsep fundamental dalam matematika yang menggambarkan laju perubahan suatu fungsi. Dalam ujian, soal turunan sering disajikan dalam bentuk pilihan ganda dengan variasi fungsi yang beragam. Dengan menguasai rumus dasar turunan dan memahami cara menggunakannya pada fungsi polinomial, trigonometri, eksponensial, maupun logaritma, kamu bisa menyelesaikan soal dengan cepat dan tepat.
Penulis: Maharani Noeralifa
Post Comment