Parabola adalah salah satu topik penting dalam pelajaran matematika, khususnya dalam bab fungsi kuadrat dan geometri analitik. Banyak siswa merasa kesulitan ketika dihadapkan pada soal yang meminta persamaan parabola yang melalui titik-titik tertentu. Padahal, dengan memahami konsep dasar dan langkah-langkah sistematis, soal semacam ini dapat diselesaikan dengan mudah. Artikel ini akan membahas secara lengkap pengertian parabola, bentuk umum persamaannya, serta contoh soal parabola melalui titik lengkap dengan pembahasan agar kamu bisa memahami konsepnya dengan baik.

Baca juga:Lolos PK: Kuasai Contoh Soal Promkes Ini

Pengertian Parabola

Parabola adalah kurva yang terbentuk dari himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik fokus (F) dan garis direktriks (D). Dalam koordinat kartesius, parabola merupakan grafik dari fungsi kuadrat, yang secara umum ditulis dalam bentuk: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c

dengan aaa, bbb, dan ccc adalah konstanta.

• Nilai a menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas jika a > 0, dan ke bawah jika a < 0).
• Nilai b memengaruhi posisi sumbu simetri parabola.
• Nilai c menunjukkan titik potong parabola dengan sumbu y.

Selain bentuk umum tersebut, parabola juga bisa ditulis dalam bentuk puncak (vertex form): y=a(x−p)2+qy = a(x – p)^2 + qy=a(x−p)2+q

dengan (p,q)(p, q)(p,q) sebagai koordinat puncak parabola.

Konsep Parabola yang Melalui Titik-Titik Tertentu

Untuk menentukan persamaan parabola, biasanya dibutuhkan tiga titik yang dilalui oleh parabola tersebut. Hal ini karena dalam persamaan umum y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c, terdapat tiga variabel yang harus dicari, yaitu aaa, bbb, dan ccc.

Setiap titik yang diketahui akan memberikan satu persamaan. Jika terdapat tiga titik, maka kita dapat menyusun tiga persamaan linear dengan tiga variabel, kemudian diselesaikan untuk mendapatkan nilai aaa, bbb, dan ccc.

Misalnya, parabola melalui titik-titik (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​), (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​), dan (x3,y3)(x_3, y_3)(x3​,y3​). Maka: {y1=ax12+bx1+cy2=ax22+bx2+cy3=ax32+bx3+c\begin{cases} y_1 = a x_1^2 + b x_1 + c \\ y_2 = a x_2^2 + b x_2 + c \\ y_3 = a x_3^2 + b x_3 + c \end{cases}⎩⎨⎧​y1​=ax12​+bx1​+cy2​=ax22​+bx2​+cy3​=ax32​+bx3​+c​

Dari sistem ini, kita dapat menentukan nilai a, b, dan c dengan metode eliminasi atau substitusi.

Langkah-Langkah Menentukan Persamaan Parabola Melalui Titik

1. Tulis bentuk umum parabola: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c
2. Substitusikan titik-titik yang diketahui ke dalam persamaan tersebut.
3. Susun tiga persamaan linear untuk variabel aaa, bbb, dan ccc.
4. Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
5. Tulis kembali persamaan parabola yang diperoleh dari hasil perhitungan.

Contoh Soal Parabola Melalui Titik dan Pembahasannya

Contoh Soal 1:
Tentukan persamaan parabola yang melalui titik-titik (1, 2), (2, 3), dan (3, 6).

Penyelesaian:
Langkah pertama, tulis bentuk umum parabola: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c

Selanjutnya, substitusikan ketiga titik yang diketahui:
Untuk (1, 2): 2=a(1)2+b(1)+c⇒a+b+c=22 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 22=a(1)2+b(1)+c⇒a+b+c=2

Untuk (2, 3): 3=a(2)2+b(2)+c⇒4a+2b+c=33 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = 33=a(2)2+b(2)+c⇒4a+2b+c=3

Untuk (3, 6): 6=a(3)2+b(3)+c⇒9a+3b+c=66 = a(3)^2 + b(3) + c \Rightarrow 9a + 3b + c = 66=a(3)2+b(3)+c⇒9a+3b+c=6

Maka kita punya sistem persamaan: {a+b+c=24a+2b+c=39a+3b+c=6\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 3 \\ 9a + 3b + c = 6 \end{cases}⎩⎨⎧​a+b+c=24a+2b+c=39a+3b+c=6​

Langkah berikutnya, kita eliminasi c.
Kurangi persamaan kedua dengan yang pertama: (4a+2b+c)−(a+b+c)=3−2⇒3a+b=1(4a + 2b + c) – (a + b + c) = 3 – 2 \Rightarrow 3a + b = 1(4a+2b+c)−(a+b+c)=3−2⇒3a+b=1

Kurangi persamaan ketiga dengan yang kedua: (9a+3b+c)−(4a+2b+c)=6−3⇒5a+b=3(9a + 3b + c) – (4a + 2b + c) = 6 – 3 \Rightarrow 5a + b = 3(9a+3b+c)−(4a+2b+c)=6−3⇒5a+b=3

Sekarang kita punya dua persamaan baru: {3a+b=15a+b=3\begin{cases} 3a + b = 1 \\ 5a + b = 3 \end{cases}{3a+b=15a+b=3​

Kurangi persamaan kedua dengan yang pertama: (5a+b)−(3a+b)=3−1⇒2a=2⇒a=1(5a + b) – (3a + b) = 3 – 1 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1(5a+b)−(3a+b)=3−1⇒2a=2⇒a=1

Substitusikan a=1a = 1a=1 ke 3a+b=13a + b = 13a+b=1: 3(1)+b=1⇒b=−23(1) + b = 1 \Rightarrow b = -23(1)+b=1⇒b=−2

Gunakan a+b+c=2a + b + c = 2a+b+c=2: 1−2+c=2⇒c=31 – 2 + c = 2 \Rightarrow c = 31−2+c=2⇒c=3

Jadi persamaan parabolanya adalah: y=x2−2x+3y = x^2 – 2x + 3y=x2−2x+3

Hasil Akhir: y=x2−2x+3y = x^2 – 2x + 3y=x2−2x+3

Verifikasi:
Untuk (1,2): 1−2+3=21 – 2 + 3 = 21−2+3=2 ✔️
Untuk (2,3): 4−4+3=34 – 4 + 3 = 34−4+3=3 ✔️
Untuk (3,6): 9−6+3=69 – 6 + 3 = 69−6+3=6 ✔️
Semua titik sesuai, berarti hasil benar.

Contoh Soal 2 (Tingkat Lanjut)

Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (0, 1), (1, 4), dan (2, 9).

Penyelesaian:
Bentuk umum: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c

Substitusikan titik-titik yang diketahui:
(0, 1): 1=a(0)2+b(0)+c⇒c=11 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 11=a(0)2+b(0)+c⇒c=1
(1, 4): 4=a(1)2+b(1)+c⇒a+b+1=4⇒a+b=34 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + 1 = 4 \Rightarrow a + b = 34=a(1)2+b(1)+c⇒a+b+1=4⇒a+b=3
(2, 9): 9=a(2)2+b(2)+c⇒4a+2b+1=9⇒4a+2b=8⇒2a+b=49 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + 1 = 9 \Rightarrow 4a + 2b = 8 \Rightarrow 2a + b = 49=a(2)2+b(2)+c⇒4a+2b+1=9⇒4a+2b=8⇒2a+b=4

Dari sistem: {a+b=32a+b=4\begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 4 \end{cases}{a+b=32a+b=4​

Kurangi persamaan pertama dari kedua: (2a+b)−(a+b)=4−3⇒a=1(2a + b) – (a + b) = 4 – 3 \Rightarrow a = 1(2a+b)−(a+b)=4−3⇒a=1

Substitusikan a=1a = 1a=1 ke a+b=3a + b = 3a+b=3: 1+b=3⇒b=21 + b = 3 \Rightarrow b = 21+b=3⇒b=2

Gunakan c=1c = 1c=1, maka: y=x2+2x+1y = x^2 + 2x + 1y=x2+2x+1

atau disederhanakan menjadi: y=(x+1)2y = (x + 1)^2y=(x+1)2

Hasil Akhir: y=(x+1)2y = (x + 1)^2y=(x+1)2

Parabola ini memiliki puncak di titik (-1, 0) dan terbuka ke atas.

Baca juga:PKM Universitas Teknokrat Indonesia: Inovasi Pembelajaran Matematika Menggunakan Gamifikasi Berbasis Android

Tips Cepat Menyelesaikan Soal Parabola Melalui Titik

1. Gunakan substitusi langsung jika salah satu titik memiliki x = 0, karena hal ini memudahkan menentukan nilai c.
2. Jika parabola simetris terhadap sumbu y, maka b = 0, dan persamaannya cukup y=ax2+cy = ax^2 + cy=ax2+c.
3. Gunakan metode eliminasi bertahap untuk menghindari kesalahan hitung.
4. Selalu lakukan verifikasi dengan mensubstitusikan kembali hasil persamaan ke titik yang diketahui.

Kesimpulan

Soal tentang parabola melalui titik merupakan salah satu jenis soal klasik dalam matematika SMA yang sering muncul di ujian sekolah maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Kunci utama dalam menyelesaikan soal semacam ini adalah memahami bentuk umum parabola, menyusun sistem persamaan dengan tepat, serta melakukan eliminasi secara hati-hati.

Penulis: Maharani Noeralifa