Dalam dunia statistika, kita sering mendengar istilah seperti probabilitas, distribusi normal, atau distribusi binomial. Tapi, ada satu distribusi yang sering luput dari perhatian padahal sangat penting untuk kasus tertentu — hypergeometric distribution.
Distribusi ini muncul ketika kita mengambil sampel tanpa pengembalian (without replacement) dari sebuah populasi yang terbagi menjadi dua kelompok, misalnya barang cacat dan tidak cacat, siswa laki-laki dan perempuan, atau kartu merah dan hitam.
Nah, buat kamu yang sedang belajar statistika atau sedang mempersiapkan ujian, artikel ini akan membahas konsep dasar, contoh soal, serta cara menghitung distribusi hipergeometrik dengan langkah yang mudah dipahami.
baca juga: Contoh Soal Tabel Sosiologi: Cara Seru
Apa Itu Hypergeometric Distribution?
Secara sederhana, hypergeometric distribution adalah distribusi probabilitas yang menggambarkan peluang mendapatkan sejumlah keberhasilan tertentu dari suatu populasi yang terdiri dari dua kategori, ketika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.
Berbeda dengan binomial distribution yang pengambilannya dengan pengembalian (setiap percobaan independen), pada distribusi hipergeometrik setiap pengambilan akan memengaruhi peluang berikutnya.
Misalnya, kamu punya 10 bola — 6 merah dan 4 biru. Kalau kamu ambil 3 bola tanpa dikembalikan, peluang mendapat 2 bola merah akan berubah setiap kali kamu mengambil satu bola, karena jumlah bola dalam kantong ikut berkurang.
Rumus Dasar Hypergeometric Distribution
Rumus probabilitasnya adalah sebagai berikut: P(X=k)=(Kk)×(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \times \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}P(X=k)=(nN)(kK)×(n−kN−K)
Keterangan:
- N = jumlah total populasi
- K = jumlah item “berhasil” dalam populasi
- n = jumlah item yang diambil (sampel)
- k = jumlah item berhasil dalam sampel
Rumus ini menggunakan kombinasi (notasi “nCk” atau (nk)\binom{n}{k}(kn)) yang menghitung banyaknya cara memilih k elemen dari n elemen tanpa memperhatikan urutan.
Bagaimana Cara Menghitungnya? (Contoh Soal Hypergeometric Distribution)
Mari lihat contoh konkret agar lebih mudah dipahami.
Contoh Soal:
Sebuah kotak berisi 8 bola: 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil 3 bola tanpa pengembalian, berapa peluang untuk mendapatkan tepat 2 bola merah?
Langkah-langkah:
- Identifikasi variabel:
- N = 8 (total bola)
- K = 5 (bola merah)
- n = 3 (bola diambil)
- k = 2 (bola merah yang diharapkan)
- Masukkan ke rumus: P(X=2)=(52)×(31)(83)P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \times \binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}P(X=2)=(38)(25)×(13)
- Hitung kombinasi:
- (52)=10\binom{5}{2} = 10(25)=10
- (31)=3\binom{3}{1} = 3(13)=3
- (83)=56\binom{8}{3} = 56(38)=56
- Masukkan nilai: P(X=2)=10×356=3056=0,5357P(X = 2) = \frac{10 \times 3}{56} = \frac{30}{56} = 0,5357P(X=2)=5610×3=5630=0,5357
Jadi, peluang untuk mendapatkan 2 bola merah adalah sekitar 53,6%.
Kapan Kita Menggunakan Hypergeometric Distribution?
Kamu perlu menggunakan distribusi hipergeometrik jika memenuhi kondisi berikut:
- Pengambilan dilakukan tanpa pengembalian.
- Populasi terbagi menjadi dua kategori (misal: berhasil/gagal, merah/biru).
- Setiap item dalam populasi memiliki peluang sama untuk terpilih.
Beberapa contoh kasus nyata:
- Menghitung peluang mendapat sejumlah kartu As dari satu set kartu remi.
- Menentukan peluang memilih sejumlah produk cacat dari sampel inspeksi.
- Menghitung peluang dalam survei tanpa penggantian responden.
Apa Bedanya Hypergeometric dan Binomial Distribution?
Pertanyaan ini sering muncul, karena keduanya sama-sama menghitung peluang dari jumlah “keberhasilan” tertentu.
Bedanya ada pada cara pengambilan sampel.
| Aspek | Hypergeometric | Binomial |
|---|---|---|
| Pengambilan | Tanpa pengembalian | Dengan pengembalian |
| Populasi | Terbatas (finite) | Bisa dianggap tak terbatas |
| Probabilitas keberhasilan | Berubah tiap percobaan | Tetap sama di setiap percobaan |
Kesimpulan sederhana:
Gunakan hypergeometric kalau jumlah populasi terbatas dan setiap pengambilan memengaruhi peluang berikutnya.
Bagaimana Cara Menghitung di Excel atau Kalkulator?
Kalau kamu tidak mau repot menghitung kombinasi manual, gunakan fungsi bawaan di Excel atau kalkulator statistik.
Di Excel, rumusnya adalah:
=HYPGEOM.DIST(k, n, K, N, FALSE)
Keterangan:
- k = jumlah keberhasilan yang diinginkan
- n = ukuran sampel
- K = jumlah keberhasilan di populasi
- N = ukuran populasi
- FALSE = untuk peluang tepat k (TRUE untuk kumulatif ≤ k)
Contoh:=HYPGEOM.DIST(2, 3, 5, 8, FALSE)
Hasilnya: 0.5357, sama seperti hasil perhitungan manual kita tadi.
Kesimpulan
Distribusi hipergeometrik mungkin terdengar rumit di awal, tapi sebenarnya sangat logis jika kamu memahami konsep “pengambilan tanpa pengembalian”. Ia digunakan dalam banyak bidang — mulai dari kontrol kualitas, analisis survei, hingga permainan kartu.
Penulis: Tanjali Mulia Nafisa
Post Comment