Latihan Contoh Soal Dilatasi Beserta Pembahasan Step by Step

Dalam pembelajaran matematika, khususnya pada geometri, konsep dilatasi merupakan salah satu topik penting yang harus dikuasai oleh siswa. Dilatasi sering muncul dalam berbagai ujian, mulai dari Ujian Sekolah, Ujian Nasional, hingga kompetisi matematika. Agar pemahaman semakin mendalam, latihan soal dilatasi disertai pembahasan step by step menjadi metode yang efektif untuk menguasainya. Artikel ini akan membahas secara lengkap pengertian dilatasi, rumus, contoh soal, serta cara penyelesaiannya secara bertahap.

baca juga:Kumpulan Contoh Soal MAPSI SD untuk Persiapan Lomba dan Ujian

Pengertian Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Dalam dilatasi, sebuah bangun dapat diperbesar atau diperkecil dari titik tertentu yang disebut pusat dilatasi dengan faktor skala tertentu.

Secara umum, dilatasi memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. Bangun yang dihasilkan serupa dengan bangun awal
   Ini berarti sudut-sudut tetap sama, sedangkan panjang sisi berubah sesuai faktor skala.
2. Titik pusat dilatasi tetap
   Semua titik pada bangun bergerak menjauhi atau mendekati pusat dilatasi, tergantung faktor skalanya.
3. Faktor skala (k)
   • Jika $k > 1$k>1, bangun diperbesar.
   • Jika $0 < k < 1$0<k<1, bangun diperkecil.
   • Jika $k = 1$k=1, bangun tetap sama.
   • Jika $k < 0$k<0, bangun mengalami refleksi dan dilatasi secara bersamaan.

Rumus Dilatasi

Secara matematis, jika sebuah titik $P(x, y)$P(x,y) didilatasi terhadap pusat $O(0, 0)$O(0,0) dengan faktor skala $k$k, maka titik hasil dilatasi $P'(x’, y’)$P′(x′,y′) dapat dihitung dengan rumus:$$x’ = k \cdot x$$x′=k⋅x $$y’ = k \cdot y$$y′=k⋅y

Jika pusat dilatasi bukan di titik asal $(0,0)$(0,0) tetapi di titik $O(a, b)$O(a,b), maka rumusnya menjadi:$$x’ = a + k(x – a)$$x′=a+k(x−a) $$y’ = b + k(y – b)$$y′=b+k(y−b)

Rumus ini sangat berguna untuk menyelesaikan berbagai soal dilatasi, baik yang sederhana maupun kompleks.

Contoh Soal Dilatasi Beserta Pembahasan Step by Step

Agar lebih mudah memahami dilatasi, mari kita bahas beberapa contoh soal beserta langkah-langkah penyelesaiannya.

Contoh Soal 1: Dilatasi Terhadap Titik Asal

Soal:
Titik $A(2, 3)$A(2,3) didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala $k = 2$k=2. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi $A’$A′.

Pembahasan Step by Step:

1. Identifikasi data:
   • Titik awal: $A(2,3)$A(2,3)
   • Pusat dilatasi: $O(0,0)$O(0,0)
   • Faktor skala: $k = 2$k=2
2. Gunakan rumus dilatasi terhadap titik asal: $$x’ = k \cdot x = 2 \cdot 2 = 4$$x′=k⋅x=2⋅2=4 $$y’ = k \cdot y = 2 \cdot 3 = 6$$y′=k⋅y=2⋅3=6
3. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi: $$A'(4,6)$$A′(4,6)

Jawaban: $A'(4,6)$A′(4,6)

Contoh Soal 2: Dilatasi Terhadap Titik Lain

Soal:
Titik $B(4, 5)$B(4,5) didilatasi terhadap pusat $O(1,2)$O(1,2) dengan faktor skala $k = 3$k=3. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi $B’$B′.

Pembahasan Step by Step:

1. Identifikasi data:
   • Titik awal: $B(4,5)$B(4,5)
   • Pusat dilatasi: $O(1,2)$O(1,2)
   • Faktor skala: $k = 3$k=3
2. Gunakan rumus dilatasi terhadap titik pusat $O(a,b)$O(a,b): $$x’ = a + k(x – a) = 1 + 3(4 – 1) = 1 + 3 \cdot 3 = 1 + 9 = 10$$x′=a+k(x−a)=1+3(4−1)=1+3⋅3=1+9=10 $$y’ = b + k(y – b) = 2 + 3(5 – 2) = 2 + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11$$y′=b+k(y−b)=2+3(5−2)=2+3⋅3=2+9=11
3. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi: $$B'(10,11)$$B′(10,11)

Jawaban: $B'(10,11)$B′(10,11)

Contoh Soal 3: Dilatasi pada Bangun Datar

Soal:
Sebuah segitiga dengan titik-titik $A(1,1)$A(1,1), $B(3,1)$B(3,1), dan $C(2,4)$C(2,4) didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala $k = 2$k=2. Tentukan koordinat titik-titik segitiga hasil dilatasi.

Pembahasan Step by Step:

1. Titik A: $$A'(x’,y’) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2,2)$$A′(x′,y′)=(2⋅1,2⋅1)=(2,2)
2. Titik B: $$B'(x’,y’) = (2 \cdot 3, 2 \cdot 1) = (6,2)$$B′(x′,y′)=(2⋅3,2⋅1)=(6,2)
3. Titik C: $$C'(x’,y’) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 4) = (4,8)$$C′(x′,y′)=(2⋅2,2⋅4)=(4,8)

Jawaban:$$A'(2,2), \quad B'(6,2), \quad C'(4,8)$$A′(2,2),B′(6,2),C′(4,8)

Dari hasil ini, segitiga baru merupakan segitiga yang sama bentuknya tetapi ukurannya dua kali lebih besar.

Contoh Soal 4: Dilatasi dengan Faktor Skala Pecahan

Soal:
Sebuah persegi panjang dengan titik $P(4,6)$P(4,6) dan $Q(8,10)$Q(8,10) didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala $k = \frac{1}{2}$k=21​. Tentukan titik hasil dilatasi.

Pembahasan Step by Step:

1. Titik P: $$P'(x’,y’) = \left(\frac{1}{2} \cdot 4, \frac{1}{2} \cdot 6\right) = (2,3)$$P′(x′,y′)=(21​⋅4,21​⋅6)=(2,3)
2. Titik Q: $$Q'(x’,y’) = \left(\frac{1}{2} \cdot 8, \frac{1}{2} \cdot 10\right) = (4,5)$$Q′(x′,y′)=(21​⋅8,21​⋅10)=(4,5)

Jawaban:$$P'(2,3), \quad Q'(4,5)$$P′(2,3),Q′(4,5)

Faktor skala pecahan membuat bangun menyusut atau diperkecil.

Contoh Soal 5: Dilatasi Negatif

Soal:
Titik $R(3,4)$R(3,4) didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala $k = -2$k=−2. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi $R’$R′.

Pembahasan Step by Step:

1. Gunakan rumus dilatasi terhadap pusat asal: $$x’ = k \cdot x = -2 \cdot 3 = -6$$x′=k⋅x=−2⋅3=−6 $$y’ = k \cdot y = -2 \cdot 4 = -8$$y′=k⋅y=−2⋅4=−8
2. Titik hasil dilatasi: $$R'(-6,-8)$$R′(−6,−8)

Negatif faktor skala menyebabkan titik berada di sisi berlawanan pusat dilatasi.

Jawaban: $R'(-6,-8)$R′(−6,−8)

Tips Menguasai Soal Dilatasi

1. Pahami Rumus Dasar
   Kuasai rumus dilatasi untuk pusat di titik asal maupun pusat lain.
2. Identifikasi Pusat Dilatasi dan Faktor Skala
   Pastikan faktor skala dan pusat dilatasi dicatat dengan benar sebelum menghitung.
3. Perhatikan Sifat Skala Negatif dan Pecahan
   Faktor skala negatif menghasilkan refleksi, faktor skala <1 membuat bangun mengecil.
4. Latihan Beragam Soal
   Latihan soal dilatasi pada titik, garis, dan bangun datar membantu pemahaman menyeluruh.
5. Gambar Hasil Dilatasi
   Menggambar bangun sebelum dan sesudah dilatasi membantu visualisasi dan mencegah kesalahan.

Manfaat Menguasai Dilatasi

Menguasai dilatasi penting karena beberapa alasan:

• Mempermudah pembelajaran geometri lanjutan seperti translasi, rotasi, dan refleksi.
• Berguna dalam kehidupan sehari-hari misalnya saat memperbesar gambar atau membuat sketsa model.
• Meningkatkan kemampuan visualisasi dalam matematika.
• Sangat sering muncul dalam ujian sehingga latihan soal step by step meningkatkan skor.

Latihan Soal Tambahan

Berikut beberapa soal tambahan untuk melatih kemampuan:

1. Titik $A(5,2)$A(5,2) didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala 3. Tentukan titik hasilnya.
2. Segitiga $ABC$ABC dengan titik $A(1,1), B(2,3), C(3,1)$A(1,1),B(2,3),C(3,1) didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala $\frac{1}{2}$21​. Tentukan koordinat titik-titik hasil dilatasi.
3. Titik $M(4,5)$M(4,5) didilatasi terhadap pusat $O(2,1)$O(2,1) dengan faktor skala -2. Tentukan titik hasil dilatasi.

Kunci Jawaban:

1. $A'(15,6)$A′(15,6)
2. $A'(0.5,0.5), B'(1,1.5), C'(1.5,0.5)$A′(0.5,0.5),B′(1,1.5),C′(1.5,0.5)
3. $M'(-0, -3)$M′(−0,−3)

Latihan rutin seperti ini membantu siswa memahami dilatasi dari berbagai kasus.

baca juga:Perdana Isra Mi’raj di Masjid Al Hijrah, Hadir Dua Mantan Gubernur Lampung dan Rektor Universitas Teknokrat Indonesia

Kesimpulan

Dilatasi merupakan transformasi geometri yang mengubah ukuran bangun namun tetap mempertahankan bentuknya. Dengan memahami rumus dasar, pusat dilatasi, dan faktor skala, siswa dapat menyelesaikan berbagai soal dilatasi dengan mudah.

Latihan soal dilatasi step by step sangat penting agar pemahaman tidak hanya teoritis tetapi juga praktis. Faktor skala positif, negatif, pecahan, dan pusat dilatasi selain titik asal harus dikuasai agar siap menghadapi berbagai bentuk soal, baik pada ujian sekolah maupun kompetisi matematika.

penulis:putra