Contoh Soal dan Pembahasan Dilatasi Lengkap Materi Transformasi Geometri SMA

Dalam pembelajaran matematika SMA, materi transformasi geometri merupakan topik yang sangat penting karena menjadi dasar untuk memahami konsep seperti refleksi, rotasi, translasi, dan salah satunya adalah dilatasi. Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Materi ini biasanya diajarkan di kelas X atau XI, dan sangat sering muncul dalam soal ujian.

Artikel ini akan membahas contoh soal dilatasi SMA lengkap dengan pembahasan step by step, sehingga memudahkan siswa untuk memahami konsep dan cara penyelesaiannya.

baca juga:Kumpulan Contoh Soal MAPSI SD untuk Persiapan Lomba dan Ujian

Pengertian Dilatasi dalam Transformasi Geometri

Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun, baik membesar maupun mengecil, tetapi tetap mempertahankan bentuk dan proporsi sisi-sisinya. Dalam dilatasi, terdapat dua hal penting yang perlu diperhatikan:

1. Pusat dilatasi (P)
   Titik yang menjadi acuan perubahan ukuran bangun. Semua titik bangun bergerak mendekati atau menjauhi pusat ini.
2. Faktor skala (k)
   Angka yang menunjukkan perbandingan ukuran baru terhadap ukuran awal.
   • Jika k > 1, bangun mengalami perbesaran.
   • Jika 0 < k < 1, bangun mengalami pengecilan.
   • Jika k < 0, bangun tidak hanya mengalami perbesaran atau pengecilan tetapi juga mengalami refleksi terhadap pusat dilatasi.

Secara matematis, jika sebuah titik awal $A(x, y)$A(x,y) mengalami dilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala $k$k, titik baru $A'(x’, y’)$A′(x′,y′) dapat dihitung dengan rumus:$$x’ = k \cdot x$$x′=k⋅x $$y’ = k \cdot y$$y′=k⋅y

Jika pusat dilatasi bukan di titik asal, maka rumusnya menjadi sedikit lebih kompleks:$$x’ = x_P + k(x – x_P)$$x′=xP​+k(x−xP​) $$y’ = y_P + k(y – y_P)$$y′=yP​+k(y−yP​)

Di mana $(x_P, y_P)$(xP​,yP​) adalah koordinat pusat dilatasi.

Sifat-sifat Dilatasi

Memahami sifat-sifat dilatasi akan membantu siswa dalam menyelesaikan soal. Sifat-sifat tersebut antara lain:

1. Bentuk bangun tetap
   Dilatasi tidak mengubah bentuk bangun. Contohnya, persegi tetap berbentuk persegi, segitiga tetap segitiga.
2. Ukuran bangun berubah
   Ukuran sisi bangun bertambah atau berkurang sesuai faktor skala.
3. Sudut bangun tetap
   Semua sudut dalam bangun yang mengalami dilatasi tetap sama besar.
4. Panjang sisi berbanding lurus
   Panjang sisi baru berbanding lurus dengan panjang sisi awal, menggunakan faktor skala $k$k.
5. Jarak antara titik-titik berubah
   Semua titik bergerak menjauhi atau mendekati pusat dilatasi sesuai faktor skala.

Contoh Soal Dilatasi SMA dan Pembahasannya

Untuk mempermudah pemahaman, berikut beberapa contoh soal dilatasi SMA lengkap dengan pembahasan.

Contoh Soal 1: Dilatasi terhadap titik asal

Soal:
Titik $A(2, 3)$A(2,3) didilatasi terhadap titik asal dengan faktor skala $k = 2$k=2. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi $A’$A′.

Pembahasan:
Rumus dilatasi terhadap titik asal:$$x’ = k \cdot x, \quad y’ = k \cdot y$$x′=k⋅x,y′=k⋅y

Substitusi:$$x’ = 2 \cdot 2 = 4$$x′=2⋅2=4 $$y’ = 2 \cdot 3 = 6$$y′=2⋅3=6

Jawaban:$$A'(4, 6)$$A′(4,6)

Contoh Soal 2: Dilatasi dengan faktor skala pecahan

Soal:
Sebuah segitiga dengan titik $A(4, 2), B(6, 3), C(5, 7)$A(4,2),B(6,3),C(5,7) didilatasi terhadap titik asal dengan faktor skala $k = \frac{1}{2}$k=21​. Tentukan koordinat segitiga hasil dilatasi.

Pembahasan:
Gunakan rumus:$$x’ = k \cdot x, \quad y’ = k \cdot y$$x′=k⋅x,y′=k⋅y

• Titik A’:

$$x_A’ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2, \quad y_A’ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$xA′​=4⋅21​=2,yA′​=2⋅21​=1

• Titik B’:

$$x_B’ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3, \quad y_B’ = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5$$xB′​=6⋅21​=3,yB′​=3⋅21​=1,5

• Titik C’:

$$x_C’ = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5, \quad y_C’ = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3,5$$xC′​=5⋅21​=2,5,yC′​=7⋅21​=3,5

Jawaban:$$A'(2, 1), B'(3, 1,5), C'(2,5, 3,5)$$A′(2,1),B′(3,1,5),C′(2,5,3,5)

Contoh Soal 3: Dilatasi terhadap titik P(x_P, y_P)

Soal:
Titik $A(4, 3)$A(4,3) didilatasi terhadap pusat $P(2, 1)$P(2,1) dengan faktor skala $k = 3$k=3. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi $A’$A′.

Pembahasan:
Rumus:$$x’ = x_P + k(x – x_P), \quad y’ = y_P + k(y – y_P)$$x′=xP​+k(x−xP​),y′=yP​+k(y−yP​)

Substitusi:$$x’ = 2 + 3(4 – 2) = 2 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8$$x′=2+3(4−2)=2+3⋅2=2+6=8 $$y’ = 1 + 3(3 – 1) = 1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$$y′=1+3(3−1)=1+3⋅2=1+6=7

Jawaban:$$A'(8, 7)$$A′(8,7)

Contoh Soal 4: Dilatasi bangun datar

Soal:
Sebuah persegi ABCD dengan titik-titik $A(1,1), B(1,3), C(3,3), D(3,1)$A(1,1),B(1,3),C(3,3),D(3,1) didilatasi terhadap titik asal dengan faktor skala $k = 2$k=2. Tentukan koordinat persegi hasil dilatasi dan panjang sisinya.

Pembahasan:
Dilatasi tiap titik:

• A’: $(1\cdot 2, 1\cdot 2) = (2,2)$(1⋅2,1⋅2)=(2,2)
• B’: $(1\cdot 2, 3\cdot 2) = (2,6)$(1⋅2,3⋅2)=(2,6)
• C’: $(3\cdot 2, 3\cdot 2) = (6,6)$(3⋅2,3⋅2)=(6,6)
• D’: $(3\cdot 2, 1\cdot 2) = (6,2)$(3⋅2,1⋅2)=(6,2)

Panjang sisi:$$AB’ = \sqrt{(2-2)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$$AB′=(2−2)2+(6−2)2​=0+16​=4

Sisi awal: AB = 2, sehingga benar panjang sisi menjadi dua kali lipat sesuai k = 2.

Jawaban:
Titik-titik: $A'(2,2), B'(2,6), C'(6,6), D'(6,2)$A′(2,2),B′(2,6),C′(6,6),D′(6,2)
Panjang sisi: 4

Contoh Soal 5: Soal aplikasi dilatasi dalam koordinat negatif

Soal:
Titik $B(-2, 3)$B(−2,3) didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$O(0,0) dengan faktor skala $k = -2$k=−2. Tentukan koordinat titik hasil dilatasi $B’$B′.

Pembahasan:
Rumus dilatasi terhadap titik asal:$$x’ = k \cdot x = -2 \cdot (-2) = 4$$x′=k⋅x=−2⋅(−2)=4 $$y’ = k \cdot y = -2 \cdot 3 = -6$$y′=k⋅y=−2⋅3=−6

Jawaban:$$B'(4, -6)$$B′(4,−6)

Catatan: Tanda negatif menyebabkan titik berpindah ke sisi berlawanan terhadap pusat dilatasi.

Tips Cepat Menguasai Soal Dilatasi

1. Kenali pusat dilatasi dan faktor skala
   Selalu catat titik pusat dan nilai k sebelum menghitung.
2. Gunakan rumus dengan tepat
   Jangan salah antara rumus dilatasi terhadap titik asal dan dilatasi terhadap titik lain.
3. Perhatikan tanda negatif pada k
   Tanda negatif mengubah arah titik relatif terhadap pusat dilatasi.
4. Gambar ilustrasi jika perlu
   Menggambar bangun sebelum dan sesudah dilatasi membantu visualisasi perubahan ukuran.
5. Latihan soal dengan variasi faktor skala
   Mulai dari k > 1, 0 < k < 1, hingga k < 0 untuk menguasai berbagai kasus.

baca juga:Perdana Isra Mi’raj di Masjid Al Hijrah, Hadir Dua Mantan Gubernur Lampung dan Rektor Universitas Teknokrat Indonesia

Kesimpulan

Dilatasi adalah salah satu materi transformasi geometri SMA yang penting karena sering muncul dalam soal ujian. Kunci menguasai materi ini adalah:

• Memahami pengertian dilatasi dan sifat-sifatnya
• Menghafal dan menggunakan rumus dilatasi dengan benar
• Berlatih contoh soal dari berbagai variasi bangun dan pusat dilatasi

Dengan latihan yang rutin, siswa dapat mengerjakan soal dilatasi dengan cepat dan akurat.

penulis:putra