Permutasi siklis adalah konsep penting dalam kombinatorik yang sering muncul di ujian matematika SMA, kompetisi, maupun aplikasi praktis sehari-hari. Topik ini mempelajari susunan elemen dalam lingkaran, di mana rotasi dianggap identik. Pemahaman permutasi siklis membantu siswa mengembangkan keterampilan berpikir logis, analitis, dan sistematis.
Baca juga : Kumpulan Contoh Soal Integral Tentu Beserta Pembahasan Terbaru
Pengertian Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah susunan elemen dalam bentuk lingkaran, di mana rotasi dianggap identik. Artinya, urutan yang berbeda hanya karena perputaran lingkaran dianggap sama.
Contoh sederhana:
Tiga orang A, B, C duduk melingkar. Susunan ABC sama dengan BCA atau CAB karena posisi relatif tetap sama.
Rumus dasar permutasi siklis:
[
P_{siklis} = (n-1)!
]
Dimana (n) = jumlah elemen, dan ((n-1)!) = faktorial dari (n-1).
Sifat Permutasi Siklis
- Rotasi dianggap identik – susunan yang dapat diperoleh dari perputaran lingkaran dianggap sama.
- Objek berbeda – berlaku untuk objek yang berbeda.
- Reduksi jumlah permutasi – dibanding permutasi linear, jumlah permutasi dikurangi faktor rotasi.
Kumpulan Latihan Soal Permutasi Siklis Tingkat Mudah
Soal 1
Tiga teman duduk melingkar di meja bundar. Berapa banyak susunan berbeda?
Jawaban dan Penjelasan:
((3-1)! = 2! = 2)
Jawaban: 2 susunan berbeda
Penjelasan: Susunan ABC, BCA, CAB dianggap identik, sehingga hanya ada 2 susunan berbeda.
Soal 2
Empat orang duduk melingkar. Tentukan banyak permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
((4-1)! = 3! = 6)
Jawaban: 6 susunan berbeda
Penjelasan: Rotasi dianggap sama, sehingga permutasi linear dikurangi faktor identitas rotasi.
Soal 3
Lima orang duduk melingkar. Berapa banyak permutasi berbeda?
Jawaban dan Penjelasan:
((5-1)! = 4! = 24)
Jawaban: 24 susunan berbeda
Penjelasan: Sama seperti sebelumnya, posisi relatif antar elemen tetap dipertimbangkan.
Kumpulan Latihan Soal Permutasi Siklis Tingkat Sedang
Soal 4
6 orang duduk melingkar, dua orang harus duduk bersebelahan. Hitung jumlah susunan berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Anggap dua orang sebagai satu blok → 5 objek → ((5-1)! = 24)
- Dua orang dalam blok bisa bertukar → (2! = 2)
- Total permutasi = (24 \times 2 = 48)
Jawaban: 48 susunan berbeda
Soal 5
5 anak duduk melingkar, satu anak tetap di kursi tertentu. Berapa banyak permutasi berbeda?
Jawaban dan Penjelasan:
- Sisa 4 anak → permutasi linear → (4! = 24)
Jawaban: 24 susunan berbeda
Soal 6
3 pria dan 2 wanita duduk melingkar. Wanita tidak boleh duduk bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Susun 3 pria terlebih dahulu → ((3-1)! = 2)
- Ada 3 ruang antar pria → pilih 2 untuk wanita → (\binom{3}{2} = 3)
- Wanita bisa bertukar → (2! = 2)
- Total = (2 \times 3 \times 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan berbeda
Kumpulan Latihan Soal Permutasi Siklis Tingkat Sulit
Soal 7
8 orang duduk melingkar, dua orang tidak boleh bersebelahan. Hitung banyak permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Total tanpa batasan → ((8-1)! = 5040)
- Perlakukan dua orang bersebelahan sebagai satu blok → ((7-1)! = 720)
- Dua orang dalam blok → (2! = 2)
- Larangan → (720 \times 2 = 1440)
- Permutasi valid = (5040 – 1440 = 3600)
Jawaban: 3600 susunan berbeda
Soal 8
7 orang duduk melingkar, 3 harus berurutan. Hitung jumlah permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- 3 orang sebagai satu blok → 5 objek → ((5-1)! = 24)
- Dalam blok → (3! = 6)
- Total = (24 \times 6 = 144)
Jawaban: 144 susunan berbeda
Soal 9
5 anak duduk melingkar, rotasi 180° dianggap identik. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Permutasi normal → ((5-1)! = 24)
- Rotasi 180° identik → bagi 2 → (24 / 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan berbeda
Latihan Soal Permutasi Siklis Berbasis Kehidupan Nyata
Soal 10
Meja bundar rapat sekolah memiliki 6 kursi. Kepala sekolah duduk tetap. Hitung permutasi guru lain.
Jawaban dan Penjelasan:
- Kepala sekolah tetap → 5 guru lain → permutasi linear → (5! = 120)
Jawaban: 120 susunan berbeda
Soal 11
4 anggota tim duduk melingkar. Dua senior tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Total permutasi 4 orang → ((4-1)! = 6)
- Larangan: 2 senior bersebelahan → blok + 2 anggota → ((3-1)! = 2)
- Dalam blok: (2! = 2)
- Larangan = 2×2 = 4
- Permutasi valid = 6-4 = 2
Jawaban: 2 susunan berbeda
Soal 12
5 orang duduk melingkar, dua orang A dan B harus duduk berseberangan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- A → posisi tetap
- B → posisi berseberangan → 1 cara
- 3 orang lain → permutasi siklis → ((3-1)! = 2)
Jawaban: 2 susunan berbeda
Strategi Efektif Mengerjakan Soal Permutasi Siklis
- Tentukan jumlah elemen ((n))
- Perhatikan kondisi khusus: harus bersebelahan, tidak bersebelahan, posisi tetap
- Gunakan rumus ((n-1)!) untuk permutasi siklis dasar
- Gunakan faktorial tambahan untuk pertukaran dalam blok
- Gunakan prinsip inklusi-eksklusi jika ada larangan
- Sesuaikan jika rotasi tertentu dianggap identik
Baca juga : Universitas Teknokrat Indonesia Raih Juara Umum Pada Pekan Olahraga Mahasiswa Provinsi Lampung 2025
Manfaat Latihan Permutasi Siklis
- Membantu siswa menguasai konsep kombinatorik dengan baik
- Melatih kemampuan logika, analisis, dan pemecahan masalah
- Mempermudah penyelesaian soal ujian, kompetisi, dan aplikasi kehidupan nyata
- Memberikan latihan dari mudah hingga sulit agar siswa siap menghadapi berbagai variasi soal
Penulis : Lina wati
Post Comment