Permutasi siklis adalah konsep penting dalam matematika kombinatorik, terutama untuk menghitung jumlah susunan objek dalam lingkaran, di mana rotasi dianggap identik. Topik ini sering muncul di ujian matematika SMA, kompetisi, maupun aplikasi sehari-hari, seperti penjadwalan, penyusunan kursi, dan susunan tim.
Baca juga : Prediksi Contoh Soal ANBK SD Literasi Paling Sering Muncul di Asesmen Nasional
Pengertian Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah susunan elemen dalam lingkaran, di mana rotasi dianggap sama. Artinya, urutan yang hanya berbeda karena perputaran lingkaran dianggap identik.
Contoh sederhana:
Tiga orang A, B, C duduk melingkar di meja. Susunan ABC, BCA, dan CAB dianggap sama, karena posisi relatif antar elemen tetap sama.
Rumus dasar permutasi siklis:
[
P_{siklis} = (n-1)!
]
Dimana:
- (n) = jumlah elemen
- ((n-1)!) = faktorial dari (n-1)
Sifat Permutasi Siklis
- Rotasi dianggap identik – susunan yang dapat diperoleh dari perputaran lingkaran sama.
- Objek berbeda – biasanya berlaku untuk objek yang berbeda.
- Reduksi jumlah permutasi – dibanding permutasi linear, jumlah permutasi dikurangi faktor rotasi.
Contoh:
4 orang duduk melingkar → permutasi berbeda = ((4-1)! = 6).
Rumus-Rumus Tambahan
- Dua atau lebih elemen harus bersebelahan: Perlakukan elemen sebagai satu blok.
- Dua atau lebih elemen tidak boleh bersebelahan: Gunakan prinsip inklusi-eksklusi.
- Rotasi tertentu dianggap identik: Bagi total permutasi sesuai jumlah rotasi identik.
Kumpulan Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Mudah
Soal 1
3 orang duduk melingkar di meja bundar. Berapa susunan berbeda?
Pembahasan:
((3-1)! = 2! = 2)
Jawaban: 2 susunan
Soal 2
4 orang berbeda duduk melingkar. Hitung jumlah permutasi berbeda.
Pembahasan:
((4-1)! = 3! = 6)
Jawaban: 6 susunan
Soal 3
5 orang duduk melingkar. Tentukan permutasi berbeda.
Pembahasan:
((5-1)! = 4! = 24)
Jawaban: 24 susunan
Kumpulan Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Sedang
Soal 4
6 orang duduk melingkar, dua orang harus duduk bersebelahan. Berapa banyak susunan berbeda?
Pembahasan:
- Anggap dua orang sebagai satu blok → 5 objek.
((5-1)! = 4! = 24) - Dua orang dalam blok bisa bertukar: (2! = 2)
- Total = (24 \times 2 = 48)
Jawaban: 48 susunan
Soal 5
5 anak duduk melingkar, satu anak tetap di kursi tertentu. Berapa permutasi berbeda?
Pembahasan:
- Sisa 4 anak → permutasi linear: (4! = 24)
Jawaban: 24 susunan
Soal 6
3 pria dan 2 wanita duduk melingkar, wanita tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Pembahasan:
- Susun 3 pria terlebih dahulu: ((3-1)! = 2!) = 2
- Ada 3 ruang antar pria → pilih 2 untuk wanita: (\binom{3}{2} = 3)
- Wanita bertukar tempat: (2! = 2)
- Total = (2 \times 3 \times 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan
Kumpulan Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Sulit
Soal 7
8 orang duduk melingkar, dua orang tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Pembahasan:
- Total tanpa batasan: ((8-1)! = 5040)
- Perlakukan dua orang bersebelahan → blok + 6 orang → ((7-1)! = 720)
- Dalam blok: (2! = 2)
- Larangan = (720 \times 2 = 1440)
- Permutasi valid = (5040 – 1440 = 3600)
Jawaban: 3600 susunan
Soal 8
7 orang duduk melingkar, 3 harus berurutan. Hitung permutasi berbeda.
Pembahasan:
- 3 orang sebagai blok → 5 objek → permutasi siklis: ((5-1)! = 24)
- Dalam blok: (3! = 6)
- Total = (24 \times 6 = 144)
Jawaban: 144 susunan
Soal 9
5 anak duduk melingkar, rotasi 180° dianggap identik. Hitung permutasi berbeda.
Pembahasan:
- Permutasi normal: ((5-1)! = 24)
- Rotasi 180° identik → bagi 2 → (24 / 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan
Soal Permutasi Siklis Kehidupan Nyata
Soal 10
Meja bundar rapat sekolah 6 kursi. Kepala sekolah duduk tetap. Berapa permutasi guru lain?
Pembahasan:
- Kepala sekolah tetap → permutasi linear 5 guru: (5! = 120)
Jawaban: 120 susunan
Soal 11
4 anggota tim duduk melingkar. Dua senior tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Pembahasan:
- Total permutasi 4 orang: ((4-1)! = 6)
- Larangan: 2 senior bersebelahan → blok + 2 anggota → ((3-1)! = 2)
- Dalam blok: (2! = 2)
- Larangan = 2×2 = 4
- Permutasi valid = 6-4 = 2
Jawaban: 2 susunan
Soal 12
5 orang duduk melingkar, dua orang A dan B harus duduk berseberangan. Hitung permutasi berbeda.
Pembahasan:
- A → posisi tetap
- B → posisi berseberangan → 1 cara
- 3 orang lain → permutasi siklis → ((3-1)! = 2)
Jawaban: 2 susunan
Strategi Menyelesaikan Soal Permutasi Siklis
- Tentukan jumlah objek ((n))
- Identifikasi kondisi khusus (harus bersebelahan/tidak boleh bersebelahan/posisi tetap)
- Gunakan rumus ((n-1)!)
- Tambahkan faktorial tambahan untuk pertukaran dalam blok
- Gunakan prinsip inklusi-eksklusi jika ada larangan
- Sesuaikan jika rotasi tertentu dianggap identik
Manfaat Menguasai Permutasi Siklis
- Membantu mengerjakan soal ujian matematika dan seleksi kompetitif
- Melatih berpikir logis dan sistematis
- Mempermudah penyelesaian masalah nyata seperti penyusunan kursi, penjadwalan, dan distribusi objek
- Meningkatkan kemampuan kombinatorik dan analisis kasus kompleks
Penulis : Lina wati
Post Comment