Master Strategi Program Linear: Kupas Tuntas Metode Grafik, Contoh Soal, dan Trik Cepat Pengerjaannya

Program linear merupakan salah satu materi matematika wajib yang sering muncul dalam ujian sekolah maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Inti dari program linear adalah mencari nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif di bawah kendala-kendala tertentu yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.

Salah satu cara paling intuitif untuk menyelesaikannya adalah dengan Metode Grafik. Metode ini sangat efektif digunakan ketika kita berhadapan dengan dua variabel keputusan, karena dapat divisualisasikan dengan jelas pada koordinat Kartesius.

Baca Juga : Melejitkan Skor Asesmen Nasional: Panduan Lengkap Download Soal AKM SD 2026 dan Strategi Jitu Menjawabnya

Konsep Dasar Metode Grafik

Metode grafik bekerja dengan cara memetakan semua batasan (kendala) ke dalam sebuah koordinat $xy$ untuk menemukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP). DHP adalah area di mana semua syarat pertidaksamaan terpenuhi secara simultan. Setelah DHP ditemukan, kita tinggal mencari titik pojok (titik ekstrem) untuk menentukan mana yang memberikan hasil terbaik bagi fungsi sasaran kita.

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Membuat Model Matematika: Mengubah narasi soal cerita menjadi variabel $x$ dan $y$.
2. Menentukan Garis Batas: Mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari titik potong sumbu $x$ dan $y$.
3. Menggambar Grafik: Memplot titik-titik tersebut dan menarik garis.
4. Menentukan DHP: Melakukan uji titik (biasanya titik $(0,0)$) untuk menentukan arah arsiran.
5. Mencari Titik Pojok: Menentukan koordinat perpotongan garis.
6. Uji Fungsi Objektif: Memasukkan titik pojok ke fungsi $f(x, y) = ax + by$.

Contoh Soal 1: Maksimalisasi Keuntungan Produksi

Soal:

Seorang pengrajin tas ingin membuat dua jenis tas. Tas Jenis A memerlukan 2 meter kain polos dan 3 meter kain corak. Tas Jenis B memerlukan 1 meter kain polos dan 2 meter kain corak. Pengrajin tersebut hanya memiliki persediaan 20 meter kain polos dan 35 meter kain corak. Jika keuntungan Tas Jenis A adalah Rp40.000 dan Tas Jenis B adalah Rp30.000, berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh?

Pembahasan:

Langkah 1: Model Matematika

Misal:

$x$ = Jumlah Tas Jenis A

$y$ = Jumlah Tas Jenis B

Kendala:

1. Kain Polos: $2x + y \leq 20$
2. Kain Corak: $3x + 2y \leq 35$
3. Syarat Non-negatif: $x \geq 0, y \geq 0$

Fungsi Objektif: $f(x, y) = 40.000x + 30.000y$

Langkah 2: Menentukan Titik Potong

• Garis 1 ($2x + y = 20$):
  • Jika $x = 0$, maka $y = 20 \rightarrow (0, 20)$
  • Jika $y = 0$, maka $x = 10 \rightarrow (10, 0)$
• Garis 2 ($3x + 2y = 35$):
  • Jika $x = 0$, maka $y = 17,5 \rightarrow (0, 17,5)$
  • Jika $y = 0$, maka $x = 11,67 \rightarrow (11,67, 0)$

Langkah 3: Mencari Titik Potong Kedua Garis (Eliminasi)

$2x + y = 20$ (kalikan 2) $\rightarrow 4x + 2y = 40$

$3x + 2y = 35$ (kalikan 1) $\rightarrow 3x + 2y = 35$

Selisihkan: $x = 5$

Substitusi $x = 5$ ke $2x + y = 20$:

$2(5) + y = 20 \rightarrow y = 10$

Titik potong: $(5, 10)$

Langkah 4: Uji Titik Pojok ke Fungsi Objektif

DHP dibatasi oleh titik $(0, 0)$, $(10, 0)$, $(5, 10)$, dan $(0, 17,5)$.

1. Titik $(10, 0) \rightarrow 40.000(10) + 0 = 400.000$
2. Titik $(5, 10) \rightarrow 40.000(5) + 30.000(10) = 200.000 + 300.000 = 500.000$
3. Titik $(0, 17,5) \rightarrow 0 + 30.000(17,5) = 525.000$

Catatan: Karena jumlah tas harus bilangan bulat, maka penggunaan $17,5$ harus disesuaikan ke bawah menjadi $17$ tas, namun secara matematis murni dalam grafik, nilai tertinggi ada pada titik tersebut jika variabel kontinu. Namun, dalam konteks tas, keuntungan maksimum di titik bulat terdekat adalah pada kombinasi $(5, 10)$ atau $(0, 17)$. Jika kita asumsikan variabel boleh pecah (misal dalam liter atau kg), maka $525.000$ adalah jawabannya. Untuk soal tas ini, titik $(5, 10)$ dengan Rp500.000 seringkali menjadi jawaban logis jika pembulatan dilakukan.

Contoh Soal 2: Minimalisasi Biaya Pengeluaran

Soal:

Seorang peternak harus memberi makan ternaknya yang mengandung paling sedikit 24 unit nutrisi Kalsium dan 15 unit nutrisi Zat Besi setiap hari. Jenis makanan I mengandung 6 unit Kalsium dan 1 unit Zat Besi dengan harga Rp4.000/kg. Jenis makanan II mengandung 3 unit Kalsium dan 3 unit Zat Besi dengan harga Rp5.000/kg. Tentukan biaya minimum per hari.

Pembahasan:

Langkah 1: Model Matematika

$x$ = Makanan I, $y$ = Makanan II

• $6x + 3y \geq 24$ (Sederhanakan: $2x + y \geq 8$)
• $x + 3y \geq 15$
• $f(x, y) = 4.000x + 5.000y$

Langkah 2: Titik Potong Garis

• Garis $2x + y = 8 \rightarrow (0, 8)$ dan $(4, 0)$
• Garis $x + 3y = 15 \rightarrow (0, 5)$ dan $(15, 0)$

Langkah 3: Titik Potong Kedua Garis

$2x + y = 8$ (kalikan 3) $\rightarrow 6x + 3y = 24$

$x + 3y = 15$ (kalikan 1) $\rightarrow x + 3y = 15$

Kurangi: $5x = 9 \rightarrow x = 1,8$

Substitusi: $1,8 + 3y = 15 \rightarrow 3y = 13,2 \rightarrow y = 4,4$

Titik potong: $(1,8, 4,4)$

Langkah 4: Uji Titik Pojok (DHP Luar karena $\geq$)

Titik yang diuji adalah titik-titik terluar: $(0, 8)$, $(1,8, 4,4)$, dan $(15, 0)$.

1. Titik $(0, 8) \rightarrow 4.000(0) + 5.000(8) = 40.000$
2. Titik $(1,8, 4,4) \rightarrow 4.000(1,8) + 5.000(4,4) = 7.200 + 22.000 = 29.200$
3. Titik $(15, 0) \rightarrow 4.000(15) + 0 = 60.000$

Kesimpulan: Biaya minimum adalah Rp29.200 per hari dengan mencampur $1,8$ kg makanan I dan $4,4$ kg makanan II.

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

Banyak siswa mengalami kegagalan pada metode grafik karena beberapa hal teknis berikut:

1. Salah Arah Arsiran: Ingat, untuk $ax + by \leq c$, jika $c$ positif, arsiran mengarah ke $(0,0)$. Jika $ax + by \geq c$, arsiran menjauhi $(0,0)$.
2. Ketidaktelitian Menggambar: Garis yang miring sedikit saja bisa menggeser titik potong. Disarankan menggunakan metode eliminasi untuk mencari titik potong secara presisi daripada hanya mengandalkan penglihatan pada grafik.
3. Lupa Syarat Non-negatif: Selalu ingat bahwa dalam kehidupan nyata (produksi tas, jumlah makanan), nilai $x$ dan $y$ tidak mungkin negatif ($x, y \geq 0$). Ini membatasi DHP hanya di Kuadran I.

Trik Cepat: Metode Garis Selidik

Selain menguji titik pojok satu per satu, Anda bisa menggunakan Garis Selidik. Caranya adalah dengan menggambar garis dari fungsi objektif $ax + by = k$.

• Geser garis tersebut sejajar ke arah kanan atas untuk mencari nilai Maksimum (titik terakhir yang disentuh garis sebelum keluar dari DHP).
• Geser garis tersebut ke arah kiri bawah untuk mencari nilai Minimum (titik pertama yang disentuh garis di dalam DHP).

Metode ini jauh lebih cepat jika Anda memiliki penggaris dan gambar grafik yang rapi.

Baca Juga : Lulusan S1 Manajemen Universitas Teknokrat Indonesia lulus dengan Karya Ilmiah Nasional Sinta 2

Penutup

Program linear metode grafik adalah alat yang sangat kuat untuk pengambilan keputusan sederhana. Dengan memahami cara mengubah soal cerita menjadi model matematika dan ketelitian dalam memplot grafik, Anda bisa menyelesaikan persoalan optimasi dengan mudah. Teruslah berlatih dengan variasi angka yang berbeda untuk memperkuat intuisi logis Anda.

Penulis : Nabila