Bank Soal Tembereng Lingkaran Disertai Rumus dan Pembahasan Lengkap

Tembereng lingkaran merupakan materi penting dalam pelajaran matematika, khususnya pada tingkat SMP dan SMA. Materi ini termasuk bagian dari geometri lingkaran dan sering muncul dalam soal ujian sekolah, ujian nasional, dan seleksi masuk perguruan tinggi. Menguasai konsep tembereng lingkaran sangat penting karena memungkinkan siswa menghitung luas daerah tertentu yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur secara akurat.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara

Artikel ini menyajikan bank soal tembereng lingkaran lengkap dengan rumus dan pembahasan agar siswa dapat belajar mandiri, memahami konsep, dan menguasai teknik penyelesaian soal dengan baik. Semua pembahasan dibuat sistematis, mudah dipahami, dan sesuai dengan tingkat siswa SMP dan SMA.

Pengertian Tembereng Lingkaran

Tembereng lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur yang menghubungkan dua titik ujung busur. Dengan kata lain, tembereng adalah “irisan” lingkaran di antara busur dan tali busur.

Elemen Penting pada Tembereng Lingkaran

1. Jari-jari lingkaran (r): jarak dari pusat lingkaran ke titik pada keliling.
2. Tali busur (c): garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
3. Sudut pusat (θ): sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang menyinggung ujung-ujung busur.
4. Tinggi tembereng (h): jarak tegak lurus dari tali busur ke busur.

Rumus Luas Tembereng Lingkaran

1. Jika diketahui sudut pusat θ dalam radian:

$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta)$$L=21​r2(θ−sinθ)

2. Jika diketahui tinggi tembereng h dan jari-jari lingkaran r:

$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Jika sudut dalam derajat, konversi ke radian:$$\theta (\text{radian}) = \theta (\text{derajat}) \times \frac{\pi}{180}$$θ(radian)=θ(derajat)×180π​

Bank Soal Tembereng Lingkaran

Soal 1 (Mudah)
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Hitung luas tembereng jika sudut pusat adalah 60°.

Pembahasan
Konversi sudut ke radian:$$\theta = 60° \times \frac{\pi}{180} = \pi/3 \approx 1,0472 \text{ rad}$$θ=60°×180π​=π/3≈1,0472 rad

Gunakan rumus:$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 10^2 (1,0472 – \sin 1,0472)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×102(1,0472−sin1,0472)

$\sin 1,0472 \approx 0,866$sin1,0472≈0,866$$L = 50 \times 0,1812 \approx 9,06 \text{ cm²}$$L=50×0,1812≈9,06 cm²

Soal 2 (Mudah-Menengah)
Lingkaran jari-jari 8 cm memiliki tembereng dengan sudut pusat 90°. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
$\theta = 90° \times \frac{\pi}{180} = \pi/2 \approx 1,5708 \text{ rad}$θ=90°×180π​=π/2≈1,5708 rad
$\sin 1,5708 \approx 1$sin1,5708≈1$$L = \frac{1}{2} 8^2 (1,5708 – 1) = 32 \times 0,5708 \approx 18,27 \text{ cm²}$$L=21​82(1,5708−1)=32×0,5708≈18,27 cm²

Soal 3 (Menengah)
Lingkaran jari-jari 12 cm memiliki tembereng dengan tinggi 3 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Gunakan rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Substitusi: $r = 12, h = 3$r=12,h=3
$\frac{r-h}{r} = 0,75$rr−h​=0,75, $\arccos 0,75 \approx 0,7227$arccos0,75≈0,7227$$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 144 \times 0,7227 \approx 103,91$$r2arccos(rr−h​)=144×0,7227≈103,91

$(r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 9 \times \sqrt{72 – 9} \approx 71,46$(r−h)2rh−h2​=9×72−9​≈71,46$$L = 103,91 – 71,46 \approx 32,45 \text{ cm²}$$L=103,91−71,46≈32,45 cm²

Soal 4 (Menengah-Sulit)
Lingkaran jari-jari 15 cm memiliki busur tembereng panjang 20 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Sudut pusat: $\theta = s / r = 20 / 15 \approx 1,3333 \text{ rad}$θ=s/r=20/15≈1,3333 rad$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 225 \times (1,3333 – \sin 1,3333)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×225×(1,3333−sin1,3333)

$\sin 1,3333 \approx 0,972$sin1,3333≈0,972$$L = 112,5 \times 0,3613 \approx 40,64 \text{ cm²}$$L=112,5×0,3613≈40,64 cm²

Soal 5 (Sulit)
Tentukan tinggi tembereng jika luas tembereng 50 cm² dan jari-jari lingkaran 10 cm.

Pembahasan
Gunakan rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 50$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​=50

Substitusi $r = 10$r=10$$100 \arccos\left(\frac{10-h}{10}\right) – (10-h)\sqrt{20h – h^2} = 50$$100arccos(1010−h​)−(10−h)20h−h2​=50

Diselesaikan dengan metode numerik. Dicoba $h = 4,5$h=4,5 → hasil mendekati 50 cm².

Soal 6
Lingkaran jari-jari 18 cm, tembereng tinggi 5 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
$\frac{r-h}{r} = 13/18 \approx 0,7222$rr−h​=13/18≈0,7222
$\arccos 0,7222 \approx 0,764$arccos0,7222≈0,764 rad$$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 324 \times 0,764 \approx 247,2$$r2arccos(rr−h​)=324×0,764≈247,2

((r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 13 \sqrt{180 – 25} = 13 \times \sqrt{155} \approx 161,85
]$$L = 247,2 – 161,85 \approx 85,35 \text{ cm²}$$L=247,2−161,85≈85,35 cm²

Soal 7
Lingkaran jari-jari 7 cm, sudut pusat 60°. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
$\theta = 60° \times \pi /180 = \pi/3 \approx 1,0472$θ=60°×π/180=π/3≈1,0472
$\sin 1,0472 \approx 0,866$sin1,0472≈0,866$$L = \frac{1}{2} 49 (1,0472 – 0,866) = 24,5 \times 0,1812 \approx 4,44 \text{ cm²}$$L=21​49(1,0472−0,866)=24,5×0,1812≈4,44 cm²

Tips Menguasai Soal Tembereng Lingkaran

1. Identifikasi elemen tembereng: jari-jari, tinggi, busur, dan sudut pusat.
2. Gunakan rumus sesuai data yang tersedia.
3. Konversi sudut ke radian bila diperlukan.
4. Latihan soal dari mudah ke sulit agar terbiasa dengan variasi soal.
5. Gunakan kalkulator untuk soal inversi atau numerik agar hasil lebih tepat.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Bekali Guru SMA Muhammadiyah 1 Kotaagung Pemanfaatan AI dalam Perangkat Ajar

Kesimpulan

Menguasai tembereng lingkaran sangat penting untuk siswa SMP dan SMA karena konsep ini sering muncul dalam soal ujian dan latihan matematika. Dengan latihan bank soal tembereng lingkaran disertai rumus dan pembahasan lengkap, siswa dapat memahami hubungan antara busur, tali busur, jari-jari, dan sudut pusat. Artikel ini membantu siswa belajar secara sistematis dan mempersiapkan diri menghadapi ujian dengan percaya diri.

penulis : dinda rahma wati