Contoh Soal Mencari Tembereng Lingkaran Lengkap dengan Pembahasan

Tembereng lingkaran adalah salah satu konsep penting dalam matematika, khususnya pada materi geometri lingkaran di tingkat SMA kelas 12. Materi ini sering muncul pada soal ujian sekolah, ujian nasional, maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Pemahaman konsep tembereng lingkaran sangat berguna untuk menghitung luas bagian lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara

Artikel ini menyajikan contoh soal mencari tembereng lingkaran lengkap dengan pembahasan agar siswa dapat belajar secara mandiri, memahami konsep, dan menguasai teknik penyelesaian soal dengan benar. Semua pembahasan disusun secara sistematis dan mudah dipahami untuk membantu siswa memahami konsep tembereng lingkaran secara mendalam.

Pengertian Tembereng Lingkaran

Tembereng lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur lingkaran dan tali busur yang menghubungkan dua titik ujung busur tersebut. Dengan kata lain, tembereng merupakan “irisan” lingkaran yang terletak di antara busur dan tali busur.

Dalam geometri, tembereng lingkaran sering dikaitkan dengan:

1. Busur lingkaran (panjang busur)
2. Jari-jari lingkaran
3. Sudut pusat atau sudut pada busur lingkaran

Pahami terlebih dahulu elemen-elemen tembereng sebelum masuk ke soal:

• Jari-jari lingkaran (r): jarak dari pusat lingkaran ke titik pada keliling.
• Tali busur (c): garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
• Sudut pusat (θ): sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang menyinggung ujung-ujung busur.
• Tinggi tembereng (h): jarak tegak lurus dari tali busur ke busur.

Rumus Luas Tembereng Lingkaran

Luas tembereng lingkaran dapat dihitung dengan rumus:$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta)$$L=21​r2(θ−sinθ)

Keterangan:

• $L$L = luas tembereng
• $r$r = jari-jari lingkaran
• $\theta$θ = sudut pusat dalam radian

Jika sudut pusat dalam derajat, konversi terlebih dahulu:$$\theta (\text{radian}) = \theta (\text{derajat}) \times \frac{\pi}{180}$$θ(radian)=θ(derajat)×180π​

Rumus lain yang sering digunakan jika diketahui tinggi tembereng $h$h dan jari-jari $r$r adalah:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Contoh Soal dan Pembahasan Tembereng Lingkaran

Soal 1
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Hitung luas tembereng jika sudut pusat yang membentuk tembereng adalah 60°.

Pembahasan
Langkah 1: Konversi sudut ke radian$$\theta = 60° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$$θ=60°×180π​=3π​ rad

Langkah 2: Gunakan rumus luas tembereng$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta)$$L=21​r2(θ−sinθ) $$L = \frac{1}{2} (10)^2 \left(\frac{\pi}{3} – \sin \frac{\pi}{3}\right)$$L=21​(10)2(3π​−sin3π​) $$L = 50 (1,0472 – 0,8660) = 50 \times 0,1812 \approx 9,06 \text{ cm²}$$L=50(1,0472−0,8660)=50×0,1812≈9,06 cm²

Jadi, luas tembereng ≈ 9,06 cm².

Soal 2
Hitung luas tembereng lingkaran dengan jari-jari 12 cm dan tinggi tembereng 3 cm.

Pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Langkah 2: Substitusi nilai$$r = 12, h = 3$$r=12,h=3 $$\frac{r-h}{r} = \frac{12-3}{12} = \frac{9}{12} = 0,75$$rr−h​=1212−3​=129​=0,75 $$\arccos(0,75) \approx 0,7227 \text{ rad}$$arccos(0,75)≈0,7227 rad $$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 12^2 \times 0,7227 \approx 104,15$$r2arccos(rr−h​)=122×0,7227≈104,15 $$(r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 9 \times \sqrt{2 \cdot 12 \cdot 3 – 3^2} = 9 \times \sqrt{72 – 9} = 9 \times \sqrt{63} \approx 9 \times 7,94 \approx 71,46$$(r−h)2rh−h2​=9×2⋅12⋅3−32​=9×72−9​=9×63​≈9×7,94≈71,46 $$L = 104,15 – 71,46 \approx 32,69 \text{ cm²}$$L=104,15−71,46≈32,69 cm²

Soal 3
Sebuah tembereng lingkaran terbentuk dari busur yang panjangnya 8 cm dan jari-jari lingkaran 5 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Langkah 1: Hitung sudut pusat$$s = r\theta \Rightarrow \theta = \frac{s}{r} = \frac{8}{5} = 1,6 \text{ rad}$$s=rθ⇒θ=rs​=58​=1,6 rad

Langkah 2: Gunakan rumus luas tembereng$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} 5^2 (1,6 – \sin 1,6)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​52(1,6−sin1,6) $$\sin 1,6 \approx 0,9996$$sin1,6≈0,9996 $$L = 12,5 \times (1,6 – 0,9996) = 12,5 \times 0,6004 \approx 7,50 \text{ cm²}$$L=12,5×(1,6−0,9996)=12,5×0,6004≈7,50 cm²

Soal 4
Tentukan tinggi tembereng jika luas tembereng 20 cm² dan jari-jari lingkaran 6 cm.

Pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus tinggi tembereng$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Langkah 2: Substitusi nilai$$20 = 6^2 \arccos\left(\frac{6-h}{6}\right) – (6-h)\sqrt{12h – h^2}$$20=62arccos(66−h​)−(6−h)12h−h2​

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan pendekatan numerik atau tabel. Misalkan dicoba $h = 2,5$h=2,5 cm → diperoleh luas mendekati 20 cm².

Soal 5
Sebuah lingkaran jari-jari 8 cm memiliki tembereng dengan sudut pusat 120°. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Langkah 1: Konversi sudut ke radian$$\theta = 120° \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2,094 \text{ rad}$$θ=120°×180π​=32π​≈2,094 rad

Langkah 2: Gunakan rumus luas tembereng$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} 8^2 (2,094 – \sin 2,094)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​82(2,094−sin2,094) $$\sin 2,094 \approx 0,866$$sin2,094≈0,866 $$L = 32 \times (2,094 – 0,866) = 32 \times 1,228 \approx 39,30 \text{ cm²}$$L=32×(2,094−0,866)=32×1,228≈39,30 cm²

Tips Mudah Mengerjakan Soal Tembereng Lingkaran

1. Tentukan elemen tembereng: jari-jari, tinggi, busur, dan sudut pusat.
2. Gunakan rumus sesuai informasi yang diberikan.
3. Konversi sudut ke radian jika menggunakan rumus $\theta – \sin \theta$θ−sinθ.
4. Gunakan pendekatan numerik untuk soal inversi (mencari h dari luas).
5. Latihan soal secara bertahap dari mudah hingga sulit agar terbiasa dengan variasi soal.

Pentingnya Menguasai Tembereng Lingkaran

Menguasai konsep tembereng lingkaran sangat penting karena:

• Membantu menyelesaikan soal geometri tingkat lanjut.
• Sering muncul pada soal ujian sekolah, Ujian Nasional, dan UTBK.
• Meningkatkan pemahaman hubungan antara busur, jari-jari, tali busur, dan sudut pusat.
• Mengasah kemampuan berhitung dan analisis siswa dalam geometri.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Bekali Guru SMA Muhammadiyah 1 Kotaagung Pemanfaatan AI dalam Perangkat Ajar

Kesimpulan

Tembereng lingkaran adalah bagian lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Dengan memahami elemen-elemen tembereng, rumus luas, dan teknik penyelesaian soal, siswa dapat menguasai materi ini dengan baik. Contoh soal yang disertai pembahasan lengkap membantu siswa belajar secara sistematis dan mudah dipahami. Artikel ini menjadi sumber belajar yang efektif bagi siswa SMA kelas 12 yang ingin menguasai konsep tembereng lingkaran serta mempersiapkan diri menghadapi ujian dengan percaya diri.