Pernahkah Anda mengamati bagaimana sebuah rumor menyebar? Satu orang memberi tahu dua orang, lalu dua orang itu masing-masing memberi tahu dua orang lagi. Pola pertumbuhannya bukan 1, 2, 3, 4, melainkan 1, 2, 4, 8, 16. Ini bukanlah barisan hitung (aritmetika) yang polanya ditambah, melainkan barisan geometri yang polanya dikali. Konsep inilah yang disebut deret geometri, salah satu pilar fundamental dalam matematika yang aplikasinya sangat luas, mulai dari menghitung bunga majemuk di bank, peluruhan zat radioaktif, hingga pola pantulan bola.
Bagi banyak siswa, deret geometri seringkali tertukar dengan deret aritmetika. Kuncinya sederhana: aritmetika bermain dengan “beda” (penjumlahan/pengurangan), sedangkan geometri bermain dengan “rasio” (perkalian/pembagian). Menguasai deret geometri berarti menguasai kemampuan untuk melihat pola eksponensial dalam kehidupan.
Artikel ini akan menjadi panduan lengkap Anda, menyajikan kumpulan contoh soal deret geometri yang disusun secara sistematis. Kita akan mulai dari yang paling dasar—mencari suku dan rasio—hingga soal aplikasi yang lebih kompleks seperti deret tak hingga. Mari kita bedah satu per satu.
baca juga:Siap Juara UAS BTQ SMP? Latihan Soal Ini Jawabannya!
Fondasi Wajib: Rumus Kunci Deret Geometri
Sebelum kita masuk ke soal, mari kita siapkan “peralatan” kita. Ada tiga rumus utama yang wajib Anda hafal mati untuk menaklukkan deret geometri.
Misalkan kita memiliki sebuah barisan geometri dengan:
- $a$ = Suku pertama (suku awal atau $U_1$).
- $r$ = Rasio (faktor pengali antar suku).
1. Rumus Suku ke-n ($U_n$)
Rumus ini digunakan untuk mencari nilai suku pada posisi tertentu (misal: suku ke-5, suku ke-10).
$$U_n = ar^{n-1}$$
Contoh: Jika $a = 2$ dan $r = 3$, maka suku ke-4 ($U_4$) adalah $2 \times 3^{4-1} = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$.
2. Rumus Jumlah n Suku Pertama ($S_n$)
Rumus ini digunakan untuk menjumlahkan $n$ suku pertama dari barisan tersebut (misal: jumlah 5 suku pertama). Rumusnya ada dua, tergantung nilai rasio ($r$):
- Jika $r > 1$ (barisan naik, misal: 2, 6, 18, …):$$S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$$
- Jika $r < 1$ (barisan turun, misal: 8, 4, 2, …):$$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$$
3. Rumus Deret Tak Hingga ($S_{\infty}$)
Rumus ini spesial, hanya digunakan untuk menjumlahkan seluruh suku dalam deret geometri yang rasionya konvergen (mengecil). Syaratnya mutlak: nilai $r$ harus berada di antara -1 dan 1 (ditulis $-1 < r < 1$). Jika $r$ di luar rentang itu, deretnya akan divergen (hasilnya tak terhingga).
$$S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}$$
Dengan tiga set rumus ini, kita siap menghadapi berbagai tipe soal.
Tipe Soal 1: Mencari Suku, Rasio, dan Posisi
Ini adalah soal paling dasar yang menguji pemahaman Anda tentang rumus $U_n$. Biasanya, Anda diberi dua suku dan diminta mencari rasio atau suku lainnya.
Contoh Soal 1:
Diketahui suku ke-3 ($U_3$) dari sebuah barisan geometri adalah 12 dan suku ke-6 ($U_6$) adalah 96. Tentukan rasio ($r$) dan suku pertama ($a$) barisan tersebut.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah menuliskan apa yang kita ketahui ke dalam rumus $U_n$.
- $U_6 = 96 \implies ar^{6-1} = 96 \implies ar^5 = 96$ … (Persamaan 1)
- $U_3 = 12 \implies ar^{3-1} = 12 \implies ar^2 = 12$ … (Persamaan 2)
Untuk mencari $r$, cara tercepat adalah membagi Persamaan 1 dengan Persamaan 2.
$$\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{96}{12}$$
Variabel $a$ akan tercoret:
$$r^{5-2} = 8$$
$$r^3 = 8$$
$$r = \sqrt[3]{8}$$
$$r = 2$$
Setelah rasio ditemukan, kita bisa mencari $a$ dengan memasukkan $r = 2$ ke salah satu persamaan (pilih yang lebih mudah, yaitu Persamaan 2).
$$ar^2 = 12$$
$$a(2)^2 = 12$$
$$a(4) = 12$$
$$a = \frac{12}{4}$$
$$a = 3$$
Jadi, rasio ($r$) barisan tersebut adalah 2 dan suku pertamanya ($a$) adalah 3. Barisan itu adalah 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
Contoh Soal 2:
Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Suku yang bernilai 160 adalah suku ke…
Pembahasan:
Kita tahu: $a = 5$, $r = 2$, dan $U_n = 160$. Yang ditanya adalah $n$.
Kita gunakan rumus $U_n = ar^{n-1}$.
$$160 = 5 \times 2^{n-1}$$
Bagi kedua sisi dengan 5:
$$\frac{160}{5} = 2^{n-1}$$
$$32 = 2^{n-1}$$
Sekarang, kita ubah 32 menjadi basis 2. Kita tahu bahwa $2^5 = 32$.
$$2^5 = 2^{n-1}$$
Karena basisnya sudah sama (yaitu 2), kita tinggal menyamakan pangkatnya:
$$5 = n – 1$$
$$n = 5 + 1$$
$$n = 6$$
Jadi, 160 adalah suku ke-6.
Tipe Soal 2: Menghitung Jumlah Suku (Sn)
Soal tipe ini berfokus pada rumus $S_n$ dan sering muncul dalam bentuk soal cerita.
Contoh Soal 3:
Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian sehingga panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 4 cm dan potongan terpanjang 972 cm, berapakah panjang tali semula?
Pembahasan:
Soal ini menanyakan “panjang tali semula”, yang artinya adalah jumlah dari semua 6 potongan. Ini adalah soal $S_n$.
Diketahui:
- Jumlah potongan $n = 6$.
- Potongan terpendek (ini adalah $a$ atau $U_1$) = 4 cm.
- Potongan terpanjang (ini adalah $U_n$ atau $U_6$) = 972 cm.
Kita perlu mencari $S_6$. Untuk menggunakan rumus $S_n$, kita butuh $r$, yang belum kita ketahui. Kita bisa mencari $r$ menggunakan rumus $U_n$.
$$U_6 = ar^{6-1}$$
$$972 = 4 \times r^5$$
$$\frac{972}{4} = r^5$$
$$243 = r^5$$
Kita harus mencari $?^5 = 243$. Jawabannya adalah 3 (karena $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$).
Maka, $r = 3$.
Sekarang kita punya $a = 4$, $r = 3$, dan $n = 6$. Karena $r > 1$, kita gunakan rumus $S_n$ yang pertama:
$$S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$$
$$S_6 = \frac{4(3^6 – 1)}{3 – 1}$$
$$S_6 = \frac{4(729 – 1)}{2}$$
$$S_6 = \frac{4(728)}{2}$$
Kita bisa coret 4 dengan 2:
$$S_6 = 2 \times 728$$
$$S_6 = 1456$$
Jadi, panjang tali semula adalah 1456 cm atau 14,56 meter.
Tipe Soal 3: Keajaiban Deret Tak Hingga (S∞)
Ini adalah bagian paling menarik dari deret geometri. Konsepnya adalah menjumlahkan sesuatu yang “tampaknya” tak terbatas, namun menghasilkan angka yang spesifik. Kuncinya, rasionya harus di antara -1 dan 1.
Contoh Soal 4 (Klasik):
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian $\frac{3}{4}$ dari ketinggian sebelumnya. Tentukan total panjang lintasan yang ditempuh bola tersebut sampai ia berhenti.
Pembahasan:
Ini adalah soal jebakan. Banyak yang langsung menghitung $S_{\infty} = \frac{10}{1 – 3/4}$. Ini salah! Kita harus memvisualisasikan lintasannya.
Lintasan bola terdiri dari dua gerakan: lintasan turun dan lintasan naik.
- Lintasan Turun:Bola jatuh 10 m (jatuh pertama).Lalu jatuh lagi $\frac{3}{4} \times 10 = 7.5$ m (setelah pantulan pertama).Lalu jatuh lagi $\frac{3}{4} \times 7.5 = 5.625$ m (setelah pantulan kedua)…. dan seterusnya.Ini adalah deret geometri tak hingga dengan $a = 10$ dan $r = \frac{3}{4}$.$S_{\text{turun}} = \frac{a}{1 – r} = \frac{10}{1 – 3/4} = \frac{10}{1/4} = 40$ meter.
- Lintasan Naik:Bola memantul $7.5$ m (pantulan pertama).Lalu memantul $5.625$ m (pantulan kedua)…. dan seterusnya.Ini adalah deret geometri tak hingga dengan $a = 7.5$ (ketinggian pantulan pertama) dan $r = \frac{3}{4}$.$S_{\text{naik}} = \frac{a}{1 – r} = \frac{7.5}{1 – 3/4} = \frac{7.5}{1/4} = 30$ meter.
Total Lintasan adalah jumlah kedua lintasan tersebut:
Total = $S_{\text{turun}} + S_{\text{naik}}$
Total = $40 + 30 = 70$ meter.
Jadi, total lintasan bola sampai berhenti adalah 70 meter.
Tipe Soal 4: Suku Tengah dan Sisipan
Soal variasi ini menguji kemampuan Anda memanipulasi rumus $U_n$.
Contoh Soal 5 (Sisipan):
Di antara bilangan 4 dan 128 akan disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan rasio baru dari barisan yang terbentuk.
Pembahasan:
Kita memiliki barisan awal: 4, …, …, …, …, 128.
- Suku pertama ($a$) tetap = 4.
- Bilangan 128 kini menjadi suku baru.Awalnya hanya ada 2 suku. Setelah disisipkan 4 bilangan ($k = 4$), jumlah total suku ($n$) menjadi:$n = (\text{suku awal}) + (\text{sisipan}) = 2 + k = 2 + 4 = 6$.Jadi, 128 adalah suku ke-6 ($U_6$) dari barisan baru ini.
Kita gunakan rumus $U_n$ untuk mencari rasio baru ($r’$).
$$U_6 = ar’^5$$
$$128 = 4 \times (r’)^5$$
$$\frac{128}{4} = (r’)^5$$
$$32 = (r’)^5$$
$$r’ = \sqrt[5]{32}$$
$$r’ = 2$$
Jadi, rasio baru yang terbentuk adalah 2. (Barisannya adalah 4, 8, 16, 32, 64, 128).
penulis:Elsandria Aurora
Post Comment