Daftar Isi
Pendahuluan: Mengenal Pertidaksamaan Irasional
Pertidaksamaan Irasional adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel di bawah tanda akar (rasio pangkat pecahan), umumnya akar kuadrat. Pertidaksamaan ini memiliki tantangan unik karena keberadaan tanda akar memunculkan syarat numerus, yaitu syarat agar fungsi di bawah akar terdefinisi (memiliki nilai real).
Secara fundamental, penyelesaian pertidaksamaan irasional harus menggabungkan dua langkah penting:
- Syarat Numerus: Memastikan semua fungsi yang berada di bawah tanda akar ($\sqrt{f(x)}$) haruslah lebih besar atau sama dengan nol ($f(x) \geq 0$).
- Mengkuadratkan Kedua Ruas: Untuk menghilangkan tanda akar, kedua ruas pertidaksamaan dikuadratkan, dan hasil penyelesaiannya harus digabungkan (diiris) dengan syarat numerus.
Kesalahan umum yang sering terjadi adalah melupakan salah satu syarat ini, yang akan berakibat pada himpunan penyelesaian (HP) yang salah. Artikel ini akan menyajikan contoh soal dari berbagai bentuk pertidaksamaan irasional dan langkah-langkah penyelesaiannya secara tuntas.
baca juga:Taklukkan SKD dengan Contoh Soal dan Strategi Jitu!
Baca juga:Halo warga Sulawesi Utara! Wah, tidak terasa kita sudah memasuki minggu kedua di bulan suci Ramadhan 1447 Hijriah. Besok, Kamis, 26 Februari 2026, umat Muslim di “Bumi Nyiur Melambai” akan menjalankan ibadah puasa hari ke-8.
1. Bentuk Dasar: $\sqrt{f(x)} < c$ (Ruas Kanan Konstanta Positif)
Bentuk ini merupakan yang paling sederhana. Karena ruas kanan ($c$) adalah konstanta positif, kita hanya perlu meninjau dua syarat utama.
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
$$\sqrt{2x – 6} < 4$$
Penyelesaian
Langkah 1: Syarat Numerus (Syarat Akar)
Fungsi di bawah akar harus ≥0:
$$2x – 6 \geq 0$$
$$2x \geq 6$$
$$\mathbf{x \geq 3} \quad \text{(Syarat I)}$$
Langkah 2: Kuadratkan Kedua Ruas
Tujuan: Menghilangkan tanda akar dan mencari penyelesaian sementara.
$$(\sqrt{2x – 6})^2 < (4)^2$$
$$2x – 6 < 16$$
$$2x < 16 + 6$$
$$2x < 22$$
$$\mathbf{x < 11} \quad \text{(Syarat II)}$$
Langkah 3: Menentukan Irisan (Solusi Akhir)
Solusi akhir adalah irisan dari Syarat I (x≥3) dan Syarat II (x<11).
Berdasarkan garis bilangan, daerah yang memenuhi kedua syarat adalah:
$$\mathbf{3 \leq x < 11}$$
Himpunan Penyelesaian (HP):
$$HP = \{x \mid 3 \leq x < 11, x \in R\}$$
2. Bentuk Perbandingan Dua Akar: $\sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)}$
Dalam bentuk ini, kita harus meninjau tiga syarat karena ada dua fungsi yang berada di bawah tanda akar.
Contoh Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
$$\sqrt{x^2 – 4} \geq \sqrt{x + 2}$$
Penyelesaian
Langkah 1: Syarat Numerus Fungsi Pertama (f(x)≥0)
$$x^2 – 4 \geq 0$$
$$(x – 2)(x + 2) \geq 0$$
Pembuat nol: x=2 atau x=−2.
$$\mathbf{x \leq -2 \text{ atau } x \geq 2} \quad \text{(Syarat I)}$$
Langkah 2: Syarat Numerus Fungsi Kedua (g(x)≥0)
$$x + 2 \geq 0$$
$$\mathbf{x \geq -2} \quad \text{(Syarat II)}$$
Langkah 3: Kuadratkan Kedua Ruas
$$(\sqrt{x^2 – 4})^2 \geq (\sqrt{x + 2})^2$$
$$x^2 – 4 \geq x + 2$$
$$x^2 – x – 6 \geq 0$$
$$(x – 3)(x + 2) \geq 0$$
Pembuat nol: x=3 atau x=−2.
$$\mathbf{x \leq -2 \text{ atau } x \geq 3} \quad \text{(Syarat III)}$$
Langkah 4: Menentukan Irisan (Solusi Akhir)
Kita harus mencari irisan dari ketiga syarat:
- (I) $x \leq -2$ atau $x \geq 2$
- (II) $x \geq -2$
- (III) $x \leq -2$ atau $x \geq 3$
Jika kita iris Syarat I dan Syarat II, kita mendapatkan dua titik dan satu interval: x=−2 dan x≥2.
Kemudian, irisan dari (I ∩ II) dengan Syarat III (x≤−2 atau x≥3) menghasilkan:
$$\mathbf{x = -2 \text{ atau } x \geq 3}$$
Himpunan Penyelesaian (HP):
$$HP = \{x \mid x = -2 \text{ atau } x \geq 3, x \in R\}$$
3. Bentuk Kompleks: $\sqrt{f(x)} > g(x)$ (Ruas Kanan Variabel)
Bentuk ini merupakan yang paling rumit karena kita harus mempertimbangkan kemungkinan nilai ruas kanan ($g(x)$).
Contoh Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
$$\sqrt{x + 5} > x – 1$$
Penyelesaian
Langkah 1: Syarat Numerus (f(x)≥0)
$$x + 5 \geq 0$$
$$\mathbf{x \geq -5} \quad \text{(Syarat A)}$$
Langkah 2: Meninjau Kemungkinan Ruas Kanan ($g(x)$)
Kasus I: Ruas Kanan Negatif (g(x)<0)
Jika g(x)<0, maka f(x) (pasti ≥0) akan selalu lebih besar dari g(x) (negatif).
$$x – 1 < 0$$
$$\mathbf{x < 1} \quad \text{(Syarat B)}$$
Irisan antara Syarat A (x≥−5) dan Syarat B (x<1) adalah:
$$\mathbf{-5 \leq x < 1} \quad \text{(Solusi 1)}$$
Kasus II: Ruas Kanan Positif atau Nol (g(x)≥0)
Jika g(x)≥0, kita harus mengkuadratkan kedua ruas.
$$x – 1 \geq 0$$
$$\mathbf{x \geq 1} \quad \text{(Syarat C)}$$
Kuadratkan Kedua Ruas:
$$(\sqrt{x + 5})^2 > (x – 1)^2$$
$$x + 5 > x^2 – 2x + 1$$
$$0 > x^2 – 3x – 4$$
$$x^2 – 3x – 4 < 0$$
$$(x – 4)(x + 1) < 0$$
Pembuat nol: x=4 atau x=−1.
$$\mathbf{-1 < x < 4} \quad \text{(Syarat D)}$$
Irisan antara Syarat A (x≥−5), Syarat C (x≥1), dan Syarat D (−1<x<4) adalah:
$$\mathbf{1 \leq x < 4} \quad \text{(Solusi 2)}$$
Langkah 3: Menentukan Gabungan (Solusi Akhir)
Solusi akhir adalah gabungan dari Solusi 1 dan Solusi 2.
- Solusi 1: $-5 \leq x < 1$
- Solusi 2: $1 \leq x < 4$
Gabungan dari kedua solusi tersebut adalah:
$$\mathbf{-5 \leq x < 4}$$
Himpunan Penyelesaian (HP):
$$HP = \{x \mid -5 \leq x < 4, x \in R\}$$
baca juga:Menghidupkan Malam dengan Iktikaf dan Tausiah Subuh di Masjid Agung Al Hijrah
4. Pedoman Umum dan Syarat Kunci Pertidaksamaan Irasional
Pertidaksamaan irasional adalah tentang disiplin dalam menerapkan syarat. Selalu ingat urutan langkah ini:
| Langkah Kunci | Keterangan |
| 1. Syarat Numerus | Fungsi di bawah tanda akar harus $\geq 0$. Jika ada lebih dari satu akar, terapkan syarat ini pada setiap fungsi, lalu cari irisannya. |
| 2. Tinjau Ruas Kanan | Jika ruas kanan mengandung variabel ($g(x)$), Anda harus memecah kasus menjadi $g(x) < 0$ dan $g(x) \geq 0$. |
| 3. Kuadratkan Ruas | Lakukan pengkuadratan hanya setelah memastikan ruas kanan tidak negatif (atau setelah memecah kasus). |
| 4. Tentukan Irisan | Hasil akhir (HP) adalah irisan dari semua syarat yang relevan (syarat numerus dan hasil pengkuadratan) dalam satu kasus. |
| 5. Gabungkan Solusi | Jika Anda memecah kasus (seperti pada Contoh 3), solusi akhirnya adalah gabungan dari himpunan penyelesaian pada setiap kasus. |
penulis:Anis puspita sari
Post Comment