Kumpulan Contoh Soal Bentuk Rasional Akar untuk SMA

Pendahuluan

Materi bentuk rasional akar merupakan salah satu topik penting dalam pelajaran matematika SMA, khususnya pada materi aljabar kelas 10 dan kelas 11. Konsep ini berkaitan erat dengan operasi bentuk akar, penyederhanaan aljabar, serta teknik merasionalkan penyebut. Oleh karena itu, penguasaan bentuk rasional akar sangat diperlukan untuk menyelesaikan soal ujian sekolah, PAS, PAT, hingga UTBK.

Melalui artikel ini, disajikan kumpulan contoh soal bentuk rasional akar untuk SMA lengkap dengan pembahasan. Soal-soal disusun secara bertahap dari tingkat mudah hingga menengah agar siswa dapat memahami konsep secara sistematis dan menyeluruh.

Baca juga:Contoh Soal Hiperboloida Pilihan Ganda dan Esai Lengkap dengan Pembahasan Mudah Dipahami

Pengertian Bentuk Rasional Akar

Bentuk rasional akar adalah bentuk aljabar yang melibatkan akar (radikal), tetapi tidak mengandung akar di penyebut. Jika suatu pecahan masih memiliki akar di penyebut, maka bentuk tersebut belum rasional dan perlu dirasionalkan.

Contoh bentuk belum rasional:

• $\frac{3}{\sqrt{2}}$2​3​
• $\frac{4}{1+\sqrt{5}}$1+5​4​

Contoh bentuk rasional:

• $\frac{3\sqrt{2}}{2}$232​​
• $4(1-\sqrt{5})$4(1−5​)

Konsep Dasar Merasionalkan Bentuk Akar

Merasionalkan berarti menghilangkan akar pada penyebut dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan atau bentuk tertentu tanpa mengubah nilai pecahan.

1. Penyebut Berupa Akar Tunggal

Kalikan pembilang dan penyebut dengan akar yang sama.

2. Penyebut Berupa Penjumlahan atau Pengurangan Akar

Gunakan sekawan, yaitu pasangan bentuk yang hanya berbeda tanda operasinya.

Rumus dan Identitas Bentuk Akar

Beberapa rumus penting yang sering digunakan:

1. $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$a​×b​=ab​
2. $\sqrt{a^2} = a$a2​=a (untuk $a \ge 0$a≥0)
3. $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$(a+b)(a−b)=a2−b2

Kumpulan Contoh Soal Bentuk Rasional Akar

Contoh Soal 1 (Mudah)

Soal:
Sederhanakan bentuk:$$\frac{6}{\sqrt{3}}$$3​6​

Pembahasan:$$\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$3​6​×3​3​​=363​​=23​

Jawaban: $2\sqrt{3}$23​

Contoh Soal 2

Soal:
Rasionalkan penyebut dari:$$\frac{5}{\sqrt{7}}$$7​5​

Pembahasan:$$\frac{5}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7}$$7​5​×7​7​​=757​​

Jawaban: $\frac{5\sqrt{7}}{7}$757​​

Contoh Soal 3

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$$2​18​​

Pembahasan:$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$18​=32​ $$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$$2​32​​=3

Jawaban: 3

Contoh Soal 4

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{4\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$$3​412​​

Pembahasan:$$\frac{4\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{12}{3}} = 4\sqrt{4} = 8$$3​412​​=4312​​=44​=8

Jawaban: 8

Contoh Soal 5 (Sekawan)

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{3}{2 + \sqrt{5}}$$2+5​3​

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan $2 – \sqrt{5}$2−5​:$$\frac{3(2 – \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5})(2 – \sqrt{5})}$$(2+5​)(2−5​)3(2−5​)​

Penyebut:$$4 – 5 = -1$$4−5=−1

Hasil:$$-3(2 – \sqrt{5}) = -6 + 3\sqrt{5}$$−3(2−5​)=−6+35​

Jawaban: $-6 + 3\sqrt{5}$−6+35​

Contoh Soal 6

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{4}{\sqrt{7} – \sqrt{2}}$$7​−2​4​

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan $\sqrt{7} + \sqrt{2}$7​+2​:$$\frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 – 2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5}$$7−24(7​+2​)​=54(7​+2​)​

Jawaban: $\frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5}$54(7​+2​)​

Contoh Soal 7

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{20}}$$20​65​​

Pembahasan:$$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$20​=25​ $$\frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = 3$$25​65​​=3

Jawaban: 3

Contoh Soal 8 (Operasi Penjumlahan)

Soal:
Hitung hasil:$$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{12}}$$3​1​+12​1​

Pembahasan:$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{dan} \quad \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{12}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$3​1​=33​​dan12​1​=1212​​=63​​ $$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$33​​+63​​=633​​=23​​

Jawaban: $\frac{\sqrt{3}}{2}$23​​

Contoh Soal 9 (Pecahan Kompleks)

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\sqrt{20}}$$20​5​4​​

Pembahasan:$$\frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}} = \frac{4}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$5​⋅20​4​=100​4​=104​=52​

Jawaban: $\frac{2}{5}$52​

Contoh Soal 10 (Tingkat Menengah)

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{5}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$6​+2​5​

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan $\sqrt{6} – \sqrt{2}$6​−2​:$$\frac{5(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{6 – 2} = \frac{5(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{4}$$6−25(6​−2​)​=45(6​−2​)​

Jawaban: $\frac{5(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{4}$45(6​−2​)​

Kesalahan Umum Siswa SMA

Beberapa kesalahan yang sering dilakukan siswa:

• Tidak menggunakan sekawan
• Salah mengalikan bentuk aljabar
• Tidak menyederhanakan akar
• Menghentikan proses sebelum bentuk rasional
• Kurang teliti dalam operasi hitung

Tips Menguasai Bentuk Rasional Akar

1. Kuasai operasi bentuk akar
2. Hafalkan konsep sekawan
3. Sederhanakan akar sebelum merasionalkan
4. Kerjakan langkah demi langkah
5. Periksa kembali hasil akhir

Manfaat Mempelajari Bentuk Rasional Akar

• Melatih kemampuan aljabar
• Menjadi dasar materi matematika lanjut
• Sering muncul dalam ujian SMA
• Membantu pemahaman konsep irasional

Baca juga:Afan Alfian Prodi S1 Sastra Inggris Raih Juara 1 Kategori Scrabble Intermediate English Proficiency Awards (EPA) 2025

Kesimpulan

Kumpulan contoh soal bentuk rasional akar untuk SMA ini disusun untuk membantu siswa memahami konsep merasionalkan penyebut dan menyederhanakan bentuk akar dengan benar. Melalui latihan soal yang bertahap dan pembahasan yang jelas, siswa dapat meningkatkan kemampuan aljabar dan ketelitian dalam berhitung.

Dengan latihan yang konsisten, soal-soal bentuk rasional akar tidak lagi menjadi materi yang sulit, melainkan menjadi bagian penting dalam penguasaan matematika SMA.

penulis:bagas