Materi relasi dan fungsi merupakan salah satu topik penting dalam pelajaran Matematika SMP. Materi ini biasanya berkaitan dengan hubungan antara dua himpunan, diagram panah, pasangan berurutan, tabel, hingga menentukan apakah suatu relasi dapat disebut sebagai fungsi.

Bagi sebagian siswa, soal relasi dan fungsi terlihat cukup mudah karena hanya melibatkan angka atau anggota himpunan. Namun, ketika bentuk soalnya mulai bervariasi, seperti menentukan domain, kodomain, range, atau mencari nilai fungsi, diperlukan pemahaman konsep yang lebih baik.

Artikel ini membahas contoh soal relasi dan fungsi matematika SMP beserta jawaban, pembahasan, dan trik cepatnya. Materi ini dapat digunakan untuk belajar mandiri, latihan menghadapi ulangan, maupun persiapan ujian sekolah.

Apa Itu Relasi?

Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lainnya. Misalnya terdapat himpunan A yang berisi nama-nama siswa dan himpunan B yang berisi jenis olahraga favorit.

Jika siswa dalam himpunan A memiliki olahraga favorit dalam himpunan B, hubungan tersebut disebut relasi.

Contoh:

A = {Andi, Budi, Citra}

B = {Sepak Bola, Basket, Renang}

Relasinya dapat berupa “menyukai”. Jika Andi menyukai sepak bola, Budi menyukai basket, dan Citra menyukai renang, maka hubungan tersebut merupakan relasi antara A dan B.

Relasi dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk, antara lain:

1. Diagram panah.
2. Pasangan berurutan.
3. Diagram Cartesius.
4. Tabel.

Apa Itu Fungsi?

Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.

Artinya, setiap anggota himpunan asal harus memiliki satu pasangan di himpunan tujuan.

Misalnya:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 4, 6}

Relasi:

1 → 2
2 → 4
3 → 6

Relasi tersebut merupakan fungsi karena setiap anggota A memiliki tepat satu pasangan di B.

Sebaliknya, jika satu anggota A memiliki dua pasangan berbeda di B, relasi tersebut bukan fungsi.

Domain, Kodomain, dan Range

Dalam materi fungsi, terdapat tiga istilah yang harus dipahami.

Domain adalah himpunan asal atau himpunan yang anggotanya dipasangkan.

Kodomain adalah himpunan tujuan.

Range adalah anggota kodomain yang benar-benar mendapat pasangan dari domain.

Contohnya:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 4, 6, 8}

Jika:

1 → 2
2 → 4
3 → 6

Maka:

• Domain = {1, 2, 3}
• Kodomain = {2, 4, 6, 8}
• Range = {2, 4, 6}

Perhatikan bahwa angka 8 termasuk kodomain, tetapi tidak termasuk range karena tidak mendapat pasangan.

Contoh Soal Relasi dan Fungsi Matematika SMP

Berikut beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan.

Soal 1: Menentukan Relasi

Diketahui:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6, 8}

Jika relasi dari A ke B adalah “dua kali dari”, tentukan pasangan berurutannya.

Jawaban

Karena anggota B merupakan dua kali anggota A, maka:

1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8

Pasangan berurutannya adalah:

{(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

Trik cepat

Jika kata yang digunakan adalah “dua kali dari”, langsung kalikan anggota domain dengan 2.

Soal 2: Menentukan Domain

Diketahui pasangan berurutan:

{(2,5), (3,7), (4,9), (5,11)}

Tentukan domainnya!

Jawaban

Domain merupakan angka yang berada di posisi pertama setiap pasangan berurutan.

Jadi:

Domain = {2, 3, 4, 5}

Trik cepat

Ingat:

Domain = angka pertama.

Jika bentuknya pasangan berurutan (x, y), maka x merupakan anggota domain.

Soal 3: Menentukan Range

Diketahui:

{(1,3), (2,5), (3,7), (4,9)}

Tentukan range!

Jawaban

Range merupakan anggota yang berada di posisi kedua.

Jadi:

Range = {3, 5, 7, 9}

Trik cepat

Untuk pasangan berurutan:

(x, y) → x = domain, y = range.

Soal 4: Menentukan Apakah Relasi Merupakan Fungsi

Diketahui:

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

Relasi yang terbentuk adalah:

1 → 4
2 → 5
3 → 6

Apakah relasi tersebut merupakan fungsi?

Jawaban

Ya, relasi tersebut merupakan fungsi.

Alasannya, setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B.

Trik cepat

Cek himpunan asal terlebih dahulu.

Jika setiap anggota domain hanya mempunyai satu panah keluar, maka relasi tersebut merupakan fungsi.

Soal 5: Relasi yang Bukan Fungsi

Diketahui:

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

Relasi:

1 → 4
1 → 5
2 → 6
3 → 4

Apakah relasi tersebut merupakan fungsi?

Jawaban

Relasi tersebut bukan fungsi.

Alasannya, angka 1 memiliki dua pasangan, yaitu 4 dan 5.

Satu anggota domain tidak boleh memiliki lebih dari satu pasangan jika relasi tersebut ingin disebut fungsi.

Trik cepat

Cari anggota domain yang memiliki lebih dari satu panah keluar.

Jika ada, maka bukan fungsi.

Contoh Soal Menentukan Nilai Fungsi

Soal 6

Diketahui fungsi:

f(x) = 2x + 3

Tentukan nilai f(4)!

Pembahasan

Masukkan x = 4 ke dalam rumus.

f(4) = 2(4) + 3

f(4) = 8 + 3

f(4) = 11

Jawaban

11

Trik cepat

Jika diminta f(a), langsung ganti semua x dengan a.

Misalnya:

f(x) = 3x – 2

Maka:

f(5) = 3(5) – 2 = 13.

Soal 7: Menentukan Nilai Fungsi dari Tabel

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 1. Tentukan f(7)!

Jawaban

f(7) = 3(7) – 1

f(7) = 21 – 1

f(7) = 20

Jadi, nilai fungsi ketika x = 7 adalah 20.

Soal 8: Menentukan Rumus Fungsi

Diketahui:

f(x) = ax + b

Jika f(1) = 5 dan f(3) = 11, tentukan rumus fungsi tersebut.

Pembahasan

Dari f(1) = 5:

a + b = 5

Dari f(3) = 11:

3a + b = 11

Kurangkan persamaan kedua dengan pertama:

3a + b – (a + b) = 11 – 5

2a = 6

a = 3

Kemudian:

a + b = 5

3 + b = 5

b = 2

Jadi rumus fungsinya adalah:

f(x) = 3x + 2

Trik cepat

Jika diberikan dua pasangan seperti:

(x₁, y₁) dan (x₂, y₂),

untuk fungsi linear, nilai gradien dapat dicari dengan:

a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Setelah memperoleh a, masukkan salah satu pasangan untuk mencari b.

Soal 9: Menentukan Range dari Fungsi

Diketahui:

A = {1, 2, 3, 4}

Fungsi f(x) = x + 2.

Tentukan range!

Pembahasan

Hitung satu per satu:

f(1) = 1 + 2 = 3

f(2) = 2 + 2 = 4

f(3) = 3 + 2 = 5

f(4) = 4 + 2 = 6

Jadi range:

{3, 4, 5, 6}

Soal 10: Fungsi dalam Bentuk Diagram Panah

Diketahui diagram hubungan:

1 → 3
2 → 5
3 → 7
4 → 9

Tentukan:

1. Domain
2. Range
3. Apakah merupakan fungsi?

Jawaban

Domain:

{1, 2, 3, 4}

Range:

{3, 5, 7, 9}

Jenis relasi:

Merupakan fungsi karena setiap anggota domain mempunyai tepat satu pasangan.

Soal 11: Menentukan Nilai x

Diketahui:

f(x) = 4x – 3

Jika f(x) = 17, tentukan nilai x!

Pembahasan

4x – 3 = 17

4x = 20

x = 5

Jadi:

x = 5

Trik cepat

Jika diketahui hasil fungsi, ubah rumus fungsi menjadi persamaan biasa. Kemudian selesaikan nilai x.

Soal 12: Fungsi dari Himpunan Bilangan

Diketahui:

A = {2, 4, 6}

B = {1, 2, 3, 4}

Relasi dari A ke B adalah “setengah dari”.

Tentukan pasangan berurutan dan range!

Jawaban

2 → 1
4 → 2
6 → 3

Pasangan berurutan:

{(2,1), (4,2), (6,3)}

Range:

{1,2,3}

Cara Cepat Membedakan Relasi dan Fungsi

Salah satu bagian yang sering muncul dalam soal Matematika SMP adalah menentukan apakah suatu hubungan termasuk fungsi atau bukan.

Gunakan langkah sederhana berikut.

Langkah 1: Cari domain

Domain adalah himpunan asal.

Langkah 2: Periksa setiap anggota domain

Pastikan setiap anggota domain mempunyai pasangan.

Langkah 3: Periksa jumlah pasangan

Setiap anggota domain harus memiliki tepat satu pasangan.

Jika satu domain memiliki dua pasangan, maka bukan fungsi.

Contoh

1 → A
2 → B
3 → C

Ini fungsi.

Sedangkan:

1 → A
1 → B
2 → C

Ini bukan fungsi karena 1 mempunyai dua pasangan.

Trik Cepat Mengerjakan Soal Relasi dan Fungsi

Agar lebih cepat mengerjakan soal, siswa dapat menggunakan beberapa trik berikut.

1. Ingat Konsep “Domain = Depan”

Untuk pasangan berurutan:

(x, y)

x adalah domain dan y biasanya menjadi anggota range.

Cara mengingatnya:

D = Depan

Domain berada di bagian depan pasangan berurutan.

2. Fungsi Harus Satu Pasangan

Kunci utama fungsi adalah:

Satu anggota domain → tepat satu pasangan.

Boleh beberapa anggota domain menuju anggota kodomain yang sama.

Contohnya:

1 → A
2 → A
3 → B

Ini tetap fungsi.

Yang tidak diperbolehkan adalah:

1 → A
1 → B

Karena satu domain mempunyai dua pasangan.

3. Jangan Menyamakan Kodomain dan Range

Kodomain adalah seluruh himpunan tujuan.

Range hanya anggota kodomain yang benar-benar mendapat pasangan.

Misalnya:

B = {2, 4, 6, 8}

Jika yang mendapat pasangan hanya 2, 4, dan 6, maka:

Kodomain = {2,4,6,8}

Range = {2,4,6}

4. Untuk f(x), Ganti x

Jika terdapat:

f(x) = 5x + 2

dan ditanyakan f(3), jangan membuat rumus baru.

Langsung:

f(3) = 5(3) + 2

= 17.

5. Perhatikan Kata dalam Soal

Beberapa kata dapat membantu menentukan relasi.

Contoh:

• “dua kali dari” → ×2
• “tiga kali dari” → ×3
• “setengah dari” → ÷2
• “ditambah 5” → +5
• “dikurangi 3” → -3
• “kuadrat dari” → x²

Dengan mengenali kata kunci tersebut, proses menentukan pasangan atau rumus fungsi menjadi lebih cepat.

Kesalahan yang Sering Terjadi Saat Mengerjakan Soal

Ada beberapa kesalahan yang sering dilakukan siswa ketika mengerjakan materi relasi dan fungsi.

Pertama, siswa terkadang menganggap bahwa jika ada anggota domain yang memiliki pasangan yang sama dengan domain lainnya, maka hubungan tersebut bukan fungsi. Padahal hal tersebut masih diperbolehkan.

Misalnya:

1 → 5
2 → 5
3 → 6

Hubungan tersebut tetap fungsi karena setiap anggota domain hanya memiliki satu pasangan.

Kesalahan kedua adalah menganggap kodomain sama dengan range. Padahal keduanya berbeda. Range hanya berisi anggota kodomain yang memperoleh pasangan.

Kesalahan ketiga adalah salah memasukkan nilai x ke dalam rumus fungsi. Untuk menghindarinya, tuliskan rumus terlebih dahulu kemudian ganti x dengan nilai yang diketahui.

Latihan Soal Relasi dan Fungsi SMP

Setelah mempelajari contoh soal di atas, cobalah mengerjakan latihan berikut tanpa melihat pembahasan.

Soal 1

Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6}. Jika relasi dari A ke B adalah “dua kali dari”, tentukan pasangan berurutannya.

Soal 2

Tentukan domain dari:

{(1,4), (2,6), (3,8), (4,10)}.

Soal 3

Tentukan range dari:

{(2,5), (3,7), (4,9), (5,11)}.

Soal 4

Apakah hubungan berikut merupakan fungsi?

1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8

Soal 5

Diketahui f(x) = 3x + 5. Tentukan f(6)!

Soal 6

Diketahui f(x) = 2x – 7. Jika f(x) = 9, tentukan x!

Kunci Jawaban

1. {(1,2), (2,4), (3,6)}
2. {1,2,3,4}
3. {5,7,9,11}
4. Ya, merupakan fungsi.
5. 23
6. 8

Kesimpulan

Materi relasi dan fungsi Matematika SMP akan lebih mudah dipahami jika siswa menguasai konsep dasar domain, kodomain, range, pasangan berurutan, serta ciri-ciri fungsi. Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi merupakan relasi khusus yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.

Trik paling penting yang perlu diingat adalah domain merupakan anggota pertama pada pasangan berurutan, sedangkan anggota kedua dapat digunakan untuk menentukan range. Untuk menentukan apakah sebuah relasi merupakan fungsi, periksa apakah setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan.

Sementara itu, jika menghadapi soal nilai fungsi, gunakan cara sederhana dengan mengganti x sesuai nilai yang diberikan. Dengan memahami pola tersebut dan rutin mengerjakan latihan, soal relasi dan fungsi dapat diselesaikan dengan lebih cepat dan tepat.

Latihan soal relasi dan fungsi juga dapat menjadi persiapan bagi siswa SMP sebelum menghadapi ulangan harian, asesmen, maupun ujian sekolah. Semakin sering berlatih menggunakan berbagai bentuk soal, semakin mudah mengenali pola pertanyaan dan menentukan langkah penyelesaiannya.

Penulis: W.S