Barisan dan deret aritmatika merupakan salah satu materi penting dalam pelajaran Matematika SMP. Materi ini tidak hanya berkaitan dengan kemampuan menghitung angka, tetapi juga melatih siswa mengenali pola, menentukan suku tertentu, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan jumlah suatu barisan bilangan.

Dalam soal ujian maupun latihan Matematika SMP, barisan dan deret aritmatika biasanya disajikan dalam berbagai bentuk. Ada soal yang meminta siswa menentukan beda, mencari suku ke-n, menghitung jumlah beberapa suku pertama, hingga soal cerita yang menggunakan konsep barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari.

Artikel ini membahas contoh soal barisan dan deret aritmatika SMP beserta rumusnya, lengkap dengan langkah penyelesaian agar lebih mudah dipahami.

Apa Itu Barisan Aritmatika?

Barisan aritmatika adalah susunan bilangan yang memiliki selisih atau beda yang sama antara dua suku berurutan.

Contohnya:

3, 7, 11, 15, 19, …

Perhatikan selisih setiap bilangan:

• 7 – 3 = 4
• 11 – 7 = 4
• 15 – 11 = 4
• 19 – 15 = 4

Karena selisihnya selalu 4, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika dengan beda (b) = 4.

Contoh lainnya adalah:

20, 17, 14, 11, 8, …

Selisihnya adalah:

17 – 20 = -3
14 – 17 = -3
11 – 14 = -3

Jadi, barisan tersebut juga merupakan barisan aritmatika dengan beda -3.

Apa Itu Deret Aritmatika?

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Misalnya terdapat barisan:

2, 5, 8, 11, 14

Jika semua suku tersebut dijumlahkan, diperoleh:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40

Bentuk penjumlahan tersebut disebut deret aritmatika.

Jadi, perbedaan sederhananya adalah:

• Barisan aritmatika merupakan susunan bilangan yang memiliki beda tetap.
• Deret aritmatika merupakan hasil penjumlahan suku-suku dalam barisan aritmatika.

Rumus Barisan Aritmatika

Untuk menentukan suku ke-n pada barisan aritmatika, digunakan rumus:

Un = a + (n – 1)b

Keterangan:

• Un = suku ke-n
• a = suku pertama
• n = nomor suku
• b = beda

Sementara itu, beda dapat dicari menggunakan rumus:

b = Un – U(n-1)

atau cukup dengan mencari selisih antara satu suku dengan suku sebelumnya.

Contoh

Diketahui barisan:

5, 9, 13, 17, …

Maka:

a = 5
b = 9 – 5 = 4

Untuk mencari suku ke-10:

Un = a + (n – 1)b

U10 = 5 + (10 – 1)4

U10 = 5 + 36

U10 = 41

Jadi, suku ke-10 adalah 41.

Rumus Deret Aritmatika

Untuk mencari jumlah n suku pertama pada deret aritmatika, dapat digunakan rumus:

Sn = n/2 × (2a + (n – 1)b)

Selain itu, jika suku terakhir sudah diketahui, rumus yang dapat digunakan adalah:

Sn = n/2 × (a + Un)

Keterangan:

• Sn = jumlah n suku pertama
• n = banyak suku
• a = suku pertama
• b = beda
• Un = suku ke-n

Kedua rumus tersebut dapat digunakan sesuai informasi yang tersedia dalam soal.

Contoh Soal Barisan Aritmatika SMP

Berikut beberapa contoh soal barisan aritmatika yang dapat digunakan untuk latihan.

Soal 1: Menentukan Beda

Diketahui barisan:

4, 9, 14, 19, 24, …

Tentukan beda dari barisan tersebut!

Pembahasan

Beda dapat dicari dengan mengurangi suku kedua dengan suku pertama:

b = 9 – 4

b = 5

Jadi, beda barisan tersebut adalah 5.

Soal 2: Menentukan Suku ke-10

Diketahui barisan:

3, 7, 11, 15, …

Tentukan suku ke-10!

Pembahasan

Diketahui:

a = 3
b = 7 – 3 = 4
n = 10

Gunakan rumus:

Un = a + (n – 1)b

U10 = 3 + (10 – 1)4

U10 = 3 + 9 × 4

U10 = 3 + 36

U10 = 39

Jadi, suku ke-10 adalah 39.

Soal 3: Menentukan Suku ke-20

Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama 8 dan beda 3. Tentukan suku ke-20!

Pembahasan

Diketahui:

a = 8
b = 3
n = 20

Rumus:

Un = a + (n – 1)b

U20 = 8 + (20 – 1)3

U20 = 8 + 19 × 3

U20 = 8 + 57

U20 = 65

Jadi, suku ke-20 adalah 65.

Soal 4: Menentukan Suku Pertama

Diketahui suku ke-8 suatu barisan aritmatika adalah 31 dan bedanya 4. Tentukan suku pertamanya!

Pembahasan

Gunakan rumus:

Un = a + (n – 1)b

31 = a + (8 – 1)4

31 = a + 28

a = 31 – 28

a = 3

Jadi, suku pertamanya adalah 3.

Soal 5: Menentukan Beda dari Dua Suku

Diketahui suku pertama sebuah barisan aritmatika adalah 6 dan suku ke-7 adalah 30. Tentukan bedanya!

Pembahasan

Gunakan rumus:

Un = a + (n – 1)b

U7 = 6 + (7 – 1)b

30 = 6 + 6b

30 – 6 = 6b

24 = 6b

b = 4

Jadi, beda barisan tersebut adalah 4.

Contoh Soal Deret Aritmatika SMP

Soal 6: Menghitung Jumlah 10 Suku Pertama

Hitung jumlah 10 suku pertama dari deret:

2 + 5 + 8 + 11 + …

Pembahasan

Diketahui:

a = 2
b = 3
n = 10

Gunakan rumus:

Sn = n/2 × (2a + (n – 1)b)

S10 = 10/2 × (2(2) + (10 – 1)3)

S10 = 5 × (4 + 27)

S10 = 5 × 31

S10 = 155

Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 155.

Soal 7: Menjumlahkan 15 Suku Pertama

Diketahui deret:

5 + 8 + 11 + 14 + …

Tentukan jumlah 15 suku pertama!

Pembahasan

Diketahui:

a = 5
b = 3
n = 15

Gunakan:

Sn = n/2 × (2a + (n – 1)b)

S15 = 15/2 × (2(5) + (15 – 1)3)

S15 = 15/2 × (10 + 42)

S15 = 15/2 × 52

S15 = 15 × 26

S15 = 390

Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah 390.

Soal 8: Menggunakan Suku Terakhir

Diketahui sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama 7 dan suku ke-10 adalah 34. Tentukan jumlah 10 suku pertama!

Pembahasan

Karena suku pertama dan suku terakhir sudah diketahui, gunakan rumus:

Sn = n/2 × (a + Un)

S10 = 10/2 × (7 + 34)

S10 = 5 × 41

S10 = 205

Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 205.

Contoh Soal Cerita Barisan Aritmatika

Soal 9: Jumlah Kursi

Sebuah aula memiliki susunan kursi. Baris pertama terdiri atas 10 kursi. Setiap baris berikutnya memiliki 3 kursi lebih banyak daripada baris sebelumnya. Jika terdapat 12 baris, berapa jumlah seluruh kursi?

Pembahasan

Soal tersebut merupakan deret aritmatika.

Diketahui:

a = 10
b = 3
n = 12

Gunakan rumus:

Sn = n/2 × (2a + (n – 1)b)

S12 = 12/2 × (2(10) + (12 – 1)3)

S12 = 6 × (20 + 33)

S12 = 6 × 53

S12 = 318

Jadi, jumlah seluruh kursi adalah 318 kursi.

Soal 10: Tabungan Mingguan

Rina menabung Rp10.000 pada minggu pertama. Setiap minggu berikutnya, jumlah uang yang ditabung bertambah Rp5.000. Berapa uang yang ditabung Rina pada minggu ke-8?

Pembahasan

Diketahui:

a = Rp10.000
b = Rp5.000
n = 8

Gunakan rumus:

Un = a + (n – 1)b

U8 = 10.000 + (8 – 1)5.000

U8 = 10.000 + 35.000

U8 = Rp45.000

Jadi, pada minggu ke-8 Rina menabung Rp45.000.

Contoh Soal Deret Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari

Soal 11: Menabung Selama 10 Hari

Andi menabung Rp2.000 pada hari pertama. Setiap hari, jumlah uang yang ditabung bertambah Rp1.000. Berapa total uang yang ditabung selama 10 hari?

Pembahasan

Diketahui:

a = Rp2.000
b = Rp1.000
n = 10

Gunakan rumus:

Sn = n/2 × (2a + (n – 1)b)

S10 = 10/2 × (2(2.000) + 9(1.000))

S10 = 5 × (4.000 + 9.000)

S10 = 5 × 13.000

S10 = Rp65.000

Jadi, total tabungan Andi selama 10 hari adalah Rp65.000.

Contoh Soal Menentukan Banyak Suku

Soal 12

Diketahui barisan:

6, 10, 14, 18, …, 82

Tentukan banyak suku pada barisan tersebut!

Pembahasan

Diketahui:

a = 6
b = 4
Un = 82

Gunakan:

Un = a + (n – 1)b

82 = 6 + (n – 1)4

82 – 6 = 4(n – 1)

76 = 4(n – 1)

19 = n – 1

n = 20

Jadi, banyak suku dalam barisan tersebut adalah 20 suku.

Contoh Soal Pilihan Ganda Barisan dan Deret Aritmatika

Soal 13

Barisan berikut yang merupakan barisan aritmatika adalah ….

A. 2, 4, 8, 16
B. 3, 6, 9, 12
C. 1, 2, 4, 7
D. 5, 10, 20, 40

Jawaban: B

Pembahasan:
Barisan 3, 6, 9, 12 memiliki beda yang sama, yaitu 3.

Soal 14

Suku ke-12 dari barisan 4, 7, 10, 13, … adalah ….

A. 34
B. 35
C. 37
D. 40

Jawaban: C

Pembahasan:

a = 4
b = 3
n = 12

U12 = 4 + (12 – 1)3

U12 = 4 + 33

U12 = 37

Soal 15

Jumlah 8 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 + 12 + … adalah ….

A. 96
B. 102
C. 108
D. 120

Jawaban: C

Pembahasan:

a = 3
b = 3
n = 8

S8 = 8/2 × (2(3) + (8 – 1)3)

S8 = 4 × (6 + 21)

S8 = 4 × 27

S8 = 108

Tips Mudah Mengerjakan Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Agar lebih mudah mengerjakan soal barisan dan deret aritmatika SMP, siswa dapat mengikuti beberapa langkah berikut.

1. Perhatikan Pola Bilangan

Tuliskan beberapa suku yang diketahui dan cari selisih antara dua suku yang berurutan. Jika selisihnya sama, berarti barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

2. Tentukan Suku Pertama

Suku pertama biasanya dilambangkan dengan a. Jangan sampai keliru mengambil suku kedua atau suku lainnya sebagai nilai a.

3. Cari Beda

Beda dilambangkan dengan b. Caranya adalah mengurangi suatu suku dengan suku sebelumnya.

4. Tentukan Apa yang Ditanyakan

Jika soal menanyakan suku tertentu, gunakan rumus:

Un = a + (n – 1)b

Jika soal meminta jumlah beberapa suku, gunakan rumus:

Sn = n/2 × (2a + (n – 1)b)

5. Perhatikan Satuan

Pada soal cerita, jangan lupa menuliskan satuan pada hasil akhir. Misalnya, jika soal membahas uang, gunakan rupiah. Jika membahas kursi, gunakan kursi.

6. Periksa Kembali Jawaban

Setelah memperoleh hasil, periksa apakah jawabannya masuk akal berdasarkan pola yang diberikan.

Perbedaan Barisan dan Deret Aritmatika

Masih banyak siswa yang tertukar antara barisan dan deret aritmatika. Cara mudah membedakannya adalah dengan melihat bentuknya.

Misalnya:

5, 8, 11, 14, 17

Bentuk tersebut merupakan barisan aritmatika karena menunjukkan susunan bilangan.

Sementara:

5 + 8 + 11 + 14 + 17

merupakan deret aritmatika karena suku-sukunya dijumlahkan.

Jadi, kata kunci yang perlu diingat adalah barisan = susunan, sedangkan deret = penjumlahan.

Kesimpulan

Barisan dan deret aritmatika merupakan materi Matematika SMP yang penting untuk dikuasai karena sering digunakan dalam latihan soal, ujian, maupun berbagai permasalahan sehari-hari. Kunci utama untuk memahami materi ini adalah mengenali pola bilangan dan mengetahui beda antar suku.

Rumus penting yang perlu diingat adalah Un = a + (n – 1)b untuk menentukan suku ke-n. Sementara itu, untuk menghitung jumlah n suku pertama dapat digunakan rumus Sn = n/2 × (2a + (n – 1)b) atau Sn = n/2 × (a + Un) jika suku terakhir sudah diketahui.

Dengan memahami arti setiap simbol dalam rumus, berlatih menentukan beda, serta membiasakan diri mengerjakan soal secara bertahap, siswa SMP dapat lebih mudah menyelesaikan berbagai contoh soal barisan dan deret aritmatika. Latihan secara rutin juga membantu siswa mengenali pola soal dengan lebih cepat dan mengurangi kesalahan dalam perhitungan.

Penulis: W.S