Dalam materi matematika, kombinasi dan permutasi merupakan bagian penting yang sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai persoalan peluang. Keduanya sama-sama membahas cara menghitung banyak kemungkinan dari sejumlah objek, tetapi memiliki konsep yang berbeda.

Perbedaan paling mendasar terletak pada urutan objek. Pada permutasi, urutan sangat diperhatikan. Sementara itu, pada kombinasi, urutan tidak diperhatikan. Kesalahan dalam menentukan apakah sebuah soal menggunakan permutasi atau kombinasi dapat membuat hasil perhitungan menjadi keliru.

Karena itu, memahami rumus sekaligus mengenali karakteristik soal sangat penting. Artikel ini membahas pengertian kombinasi dan permutasi, rumus yang digunakan, perbedaan keduanya, serta beberapa contoh soal kombinasi dan permutasi dalam peluang beserta cara mengerjakannya secara step by step.

Apa Itu Permutasi?

Permutasi adalah cara menyusun atau memilih sejumlah objek dari sekumpulan objek dengan memperhatikan urutannya.

Dengan kata lain, jika posisi atau urutan objek berbeda dan dianggap sebagai kemungkinan yang berbeda, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan menggunakan permutasi.

Misalnya, terdapat tiga orang, yaitu A, B, dan C, yang akan dipilih untuk menempati posisi ketua dan wakil ketua.

Susunan:

• A sebagai ketua dan B sebagai wakil
• B sebagai ketua dan A sebagai wakil

merupakan dua kemungkinan yang berbeda karena posisi masing-masing orang berubah.

Rumus permutasi adalah:

P(n,r) = n! / (n-r)!

Keterangan:

• n = jumlah seluruh objek
• r = jumlah objek yang dipilih
• ! = faktorial

Sebagai contoh, 5! berarti:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Permutasi biasanya digunakan pada soal mengenai penyusunan tempat duduk, pembentukan posisi jabatan, penyusunan angka, pembuatan kode, atau pemilihan objek yang memperhatikan posisi.

Apa Itu Kombinasi?

Berbeda dengan permutasi, kombinasi adalah cara memilih sejumlah objek dari sekumpulan objek dengan tidak memperhatikan urutannya.

Misalnya, dari lima siswa akan dipilih dua orang untuk menjadi anggota sebuah tim. Jika yang terpilih adalah Andi dan Budi, maka susunan Budi dan Andi tetap dianggap sebagai pilihan yang sama.

Jadi:

Andi-Budi = Budi-Andi

Karena urutan tidak menghasilkan pilihan baru, soal tersebut menggunakan kombinasi.

Rumus kombinasi adalah:

C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]

Keterangan:

• n = jumlah seluruh objek
• r = jumlah objek yang dipilih
• ! = faktorial

Kombinasi sering digunakan dalam soal pemilihan anggota kelompok, pembentukan tim, pemilihan sampel, pemilihan beberapa benda, dan berbagai persoalan peluang yang tidak mempertimbangkan urutan.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Sebelum mengerjakan soal, perhatikan apakah urutan objek berpengaruh atau tidak.

Cara sederhana untuk membedakannya adalah dengan bertanya:

“Jika posisi atau urutan ditukar, apakah hasilnya dianggap berbeda?”

Jika jawabannya ya, kemungkinan besar menggunakan permutasi.

Jika jawabannya tidak, kemungkinan besar menggunakan kombinasi.

Contoh Soal Permutasi dan Cara Mengerjakannya

Contoh Soal 1: Memilih dan Menyusun Siswa

Dari 6 siswa akan dipilih 3 siswa untuk menempati posisi sebagai ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa banyak susunan yang mungkin?

Penyelesaian

Diketahui:

• n = 6
• r = 3

Karena ketua, wakil ketua, dan sekretaris merupakan posisi yang berbeda, maka urutan diperhatikan.

Gunakan rumus permutasi:

P(n,r) = n!/(n-r)!

Masukkan nilai:

P(6,3) = 6!/(6-3)!

P(6,3) = 6!/3!

Hitung faktorial:

P(6,3) = (6 × 5 × 4 × 3!)/3!

Coret 3!, sehingga:

P(6,3) = 6 × 5 × 4

P(6,3) = 120

Jadi, terdapat 120 susunan yang mungkin.

Contoh Soal 2: Menyusun Angka

Tersedia angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Dari angka tersebut akan dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka tanpa pengulangan. Berapa banyak bilangan yang dapat dibuat?

Penyelesaian

Terdapat 5 angka yang tersedia dan akan digunakan 3 angka.

Diketahui:

• n = 5
• r = 3

Karena susunan 123 berbeda dengan 321, maka urutan diperhatikan. Jadi, digunakan permutasi.

P(5,3) = 5!/(5-3)!

P(5,3) = 5!/2!

P(5,3) = (5 × 4 × 3 × 2!)/2!

P(5,3) = 5 × 4 × 3

P(5,3) = 60

Jadi, banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 60 bilangan.

Contoh Soal 3: Menentukan Susunan Juara

Dalam sebuah lomba terdapat 8 peserta. Akan ditentukan juara pertama, kedua, dan ketiga. Berapa banyak kemungkinan susunan juara yang dapat terjadi?

Penyelesaian

Terdapat 8 peserta dan 3 posisi juara.

Karena juara pertama, kedua, dan ketiga memiliki posisi yang berbeda, urutan diperhatikan.

Maka:

P(8,3) = 8!/(8-3)!

P(8,3) = 8!/5!

P(8,3) = 8 × 7 × 6

P(8,3) = 336

Jadi, terdapat 336 kemungkinan susunan juara.

Contoh Soal Kombinasi dan Cara Mengerjakannya

Contoh Soal 4: Memilih Anggota Kelompok

Dari 10 siswa akan dipilih 4 siswa untuk menjadi anggota sebuah kelompok. Berapa banyak kelompok yang dapat dibentuk?

Penyelesaian

Diketahui:

• n = 10
• r = 4

Karena yang diperhatikan hanya siapa saja yang menjadi anggota kelompok, bukan urutan mereka, maka digunakan kombinasi.

Rumus:

C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]

Masukkan nilai:

C(10,4) = 10!/[4!(10-4)!]

C(10,4) = 10!/(4!6!)

Uraikan:

C(10,4) = (10 × 9 × 8 × 7 × 6!)/(4! × 6!)

Coret 6!:

C(10,4) = (10 × 9 × 8 × 7)/4!

Karena:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Maka:

C(10,4) = 5040/24

C(10,4) = 210

Jadi, terdapat 210 kelompok yang dapat dibentuk.

Contoh Soal 5: Memilih Buku

Sebuah rak memiliki 8 buku berbeda. Seorang siswa ingin memilih 3 buku untuk dibawa pulang. Berapa banyak pilihan buku yang dapat dibuat?

Penyelesaian

Karena siswa hanya memilih buku dan tidak memperhatikan urutan buku tersebut, maka digunakan kombinasi.

Diketahui:

• n = 8
• r = 3

Gunakan rumus:

C(8,3) = 8!/[3!(8-3)!]

C(8,3) = 8!/(3!5!)

Uraikan:

C(8,3) = (8 × 7 × 6 × 5!)/(3! × 5!)

Coret 5!:

C(8,3) = (8 × 7 × 6)/3!

Karena:

3! = 6

Maka:

C(8,3) = 8 × 7

C(8,3) = 56

Jadi, terdapat 56 pilihan buku.

Contoh Soal Kombinasi dalam Peluang

Contoh Soal 6: Peluang Memilih Siswa

Dalam sebuah kelas terdapat 7 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan. Dari seluruh siswa tersebut akan dipilih 2 orang secara acak untuk mengikuti sebuah kegiatan. Berapa peluang kedua siswa yang terpilih adalah perempuan?

Penyelesaian

Jumlah seluruh siswa:

7 + 5 = 12 siswa

Jumlah cara memilih 2 siswa dari 12 siswa:

C(12,2)

Hitung:

C(12,2) = 12!/(2!10!)

C(12,2) = (12 × 11)/2

C(12,2) = 66

Selanjutnya, tentukan banyak cara memilih 2 perempuan dari 5 perempuan:

C(5,2) = 5!/(2!3!)

C(5,2) = (5 × 4)/2

C(5,2) = 10

Rumus peluang:

P(A) = banyak kejadian yang diinginkan / banyak seluruh kejadian

Maka:

P(A) = 10/66

Sederhanakan:

P(A) = 5/33

Jadi, peluang kedua siswa yang terpilih adalah perempuan adalah 5/33.

Contoh Soal Permutasi dalam Peluang

Contoh Soal 7: Peluang Membentuk Susunan Angka

Tersedia angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Tiga angka dipilih dan disusun tanpa pengulangan. Berapa peluang bilangan yang terbentuk memiliki angka pertama 1?

Penyelesaian

Pertama, hitung seluruh kemungkinan.

Karena memilih dan menyusun 3 angka dari 5 angka, digunakan permutasi:

P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60

Jadi, terdapat 60 kemungkinan.

Selanjutnya, hitung kemungkinan yang angka pertamanya adalah 1.

Angka pertama sudah ditentukan sebagai 1. Dua posisi berikutnya dapat diisi oleh 4 angka yang tersisa.

Banyak susunan:

P(4,2) = 4 × 3 = 12

Maka peluangnya:

P(A) = 12/60

P(A) = 1/5

Jadi, peluang bilangan yang terbentuk memiliki angka pertama 1 adalah 1/5 atau 20%.

Contoh Soal Gabungan Kombinasi dan Permutasi

Contoh Soal 8: Memilih Ketua dan Anggota

Dari 8 siswa akan dipilih 3 orang untuk menjalankan sebuah kegiatan. Satu orang akan menjadi ketua dan dua orang lainnya menjadi anggota. Berapa banyak susunan yang mungkin?

Penyelesaian

Soal ini memiliki dua tahap.

Pertama, tentukan ketua. Karena posisi ketua berbeda dari anggota, kita dapat memilih ketua dari 8 siswa.

8 cara

Setelah ketua dipilih, tersisa 7 siswa.

Selanjutnya, pilih 2 siswa sebagai anggota. Karena kedua anggota tidak memiliki posisi khusus, urutan mereka tidak diperhatikan.

Gunakan kombinasi:

C(7,2) = 7!/(2!5!)

C(7,2) = (7 × 6)/2

C(7,2) = 21

Maka total susunan:

8 × 21 = 168

Jadi, terdapat 168 susunan yang mungkin.

Soal seperti ini menunjukkan bahwa dalam satu persoalan kita dapat menggunakan kombinasi dan permutasi sekaligus, tergantung bagian mana yang memperhatikan urutan.

Contoh Soal 9: Peluang Pemilihan Tim

Sebuah kelas terdiri dari 6 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan. Akan dipilih 3 siswa untuk mengikuti perlombaan. Berapa peluang tim yang terpilih terdiri dari 2 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuan?

Penyelesaian

Jumlah siswa:

6 + 4 = 10 siswa

Jumlah seluruh cara memilih 3 siswa:

C(10,3)

Hitung:

C(10,3) = 10!/(3!7!)

C(10,3) = (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1)

C(10,3) = 120

Selanjutnya, pilih 2 siswa laki-laki dari 6:

C(6,2) = 15

Pilih 1 siswa perempuan dari 4:

C(4,1) = 4

Maka jumlah kejadian yang diinginkan:

15 × 4 = 60

Peluang:

P(A) = 60/120

P(A) = 1/2

Jadi, peluang terpilihnya 2 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuan adalah 1/2 atau 50%.

Contoh Soal 10: Kombinasi dalam Pemilihan Tim

Sebuah organisasi memiliki 12 anggota. Akan dipilih 5 orang untuk menjadi tim kerja. Berapa banyak cara memilih tim tersebut jika tidak ada jabatan khusus di antara kelima orang tersebut?

Penyelesaian

Karena tidak ada jabatan khusus dan urutan anggota tidak diperhatikan, gunakan kombinasi.

Diketahui:

• n = 12
• r = 5

Maka:

C(12,5) = 12!/(5!7!)

Uraikan:

C(12,5) = (12 × 11 × 10 × 9 × 8)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)

Pembilang:

12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 95.040

Penyebut:

5! = 120

Maka:

C(12,5) = 95.040/120

C(12,5) = 792

Jadi, terdapat 792 cara untuk memilih tim kerja tersebut.

Tips Mengerjakan Soal Kombinasi dan Permutasi

Agar tidak salah menggunakan rumus, ada beberapa langkah yang dapat dilakukan.

1. Tentukan jumlah objek

Cari tahu berapa banyak objek yang tersedia. Nilai ini biasanya menjadi n.

2. Tentukan jumlah objek yang dipilih

Cari tahu berapa objek yang akan digunakan atau dipilih. Nilai ini menjadi r.

3. Periksa apakah urutan penting

Ini adalah langkah yang paling penting.

Jika urutan penting, gunakan permutasi.

Contohnya:

• menentukan juara
• menentukan posisi ketua dan wakil
• menyusun angka
• membuat kode
• mengatur tempat duduk

Jika urutan tidak penting, gunakan kombinasi.

Contohnya:

• memilih anggota kelompok
• memilih anggota tim
• memilih beberapa buku
• memilih sampel
• memilih beberapa siswa

4. Masukkan ke rumus

Setelah mengetahui jenis perhitungannya, masukkan nilai n dan r ke rumus.

Permutasi:

P(n,r) = n!/(n-r)!

Kombinasi:

C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]

5. Sederhanakan faktorial

Tidak selalu perlu menghitung seluruh nilai faktorial. Misalnya:

10!/7!

dapat langsung ditulis:

10 × 9 × 8

Cara ini membuat perhitungan lebih cepat dan mengurangi kemungkinan kesalahan.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Dalam mengerjakan soal kombinasi dan permutasi, ada beberapa kesalahan yang cukup umum.

Pertama, tertukar antara kombinasi dan permutasi. Kesalahan ini terjadi ketika siswa hanya melihat angka n dan r tanpa memperhatikan konteks soal.

Kedua, lupa bahwa posisi memiliki pengaruh. Jika soal menentukan ketua, wakil, sekretaris, atau peringkat juara, posisi biasanya membuat urutan menjadi penting.

Ketiga, salah menghitung faktorial. Contohnya, 4! bukan 4 × 3, melainkan:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Keempat, tidak menyederhanakan pecahan peluang. Setelah mendapatkan hasil peluang, sebaiknya pecahan disederhanakan dan, jika diperlukan, diubah menjadi bentuk desimal atau persentase.

Kesimpulan

Kombinasi dan permutasi merupakan konsep penting dalam matematika, khususnya pada materi peluang. Meskipun keduanya sama-sama digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan, terdapat perbedaan utama yang harus dipahami.

Permutasi digunakan ketika urutan atau posisi diperhatikan. Contohnya adalah menentukan susunan juara, menyusun angka, menentukan jabatan, atau mengatur posisi tertentu.

Sementara itu, kombinasi digunakan ketika urutan tidak diperhatikan. Contohnya adalah memilih anggota kelompok, menentukan anggota tim, memilih buku, atau mengambil sampel.

Rumus permutasi yang digunakan adalah:

P(n,r) = n!/(n-r)!

Sedangkan rumus kombinasi adalah:

C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]

Dalam soal peluang, kombinasi dan permutasi juga dapat digunakan untuk menentukan banyak kejadian yang mungkin maupun banyak kejadian yang memenuhi syarat tertentu. Kuncinya adalah membaca soal dengan teliti, menentukan apakah urutan berpengaruh, lalu memilih rumus yang sesuai.

Dengan memahami perbedaan tersebut dan berlatih mengerjakan berbagai contoh soal, materi kombinasi dan permutasi dalam peluang akan menjadi lebih mudah dipahami dan diterapkan.

Penulis: W.S