Contoh Soal Logaritma Sifat 3 Beserta Pembahasan Lengkap

Logaritma adalah salah satu topik penting dalam matematika, khususnya untuk siswa SMA dan mahasiswa yang mempelajari fungsi eksponen dan logaritma. Memahami sifat-sifat logaritma merupakan kunci untuk menyelesaikan berbagai soal dengan cepat dan tepat. Artikel ini akan membahas Contoh Soal Logaritma Sifat 3 beserta pembahasan lengkap, sehingga memudahkan Anda belajar sekaligus latihan soal.

baca juga:Kumpulan Contoh Soal UN Biologi tentang Keanekaragaman Hayati

Pengertian Logaritma

Sebelum membahas soal, mari kita pahami dulu pengertian logaritma. Logaritma adalah operasi matematika yang menjadi kebalikan dari eksponen. Dengan kata lain, jika:$$a^x = b$$ax=b

maka:$$\log_a b = x$$loga​b=x

Dimana:

• $a$a adalah basis logaritma (a > 0, a ≠ 1)
• $b$b adalah bilangan yang akan dicari logaritmanya (b > 0)
• $x$x adalah hasil logaritma

Sifat-Sifat Logaritma

Untuk memahami soal logaritma, penting untuk menguasai sifat-sifat logaritma, yaitu:

1. Logaritma dari perkalian:

$$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$loga​(xy)=loga​x+loga​y

2. Logaritma dari pembagian:

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$$loga​yx​=loga​x−loga​y

3. Logaritma dari pangkat:

$$\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x$$loga​(xn)=n⋅loga​x

4. Logaritma basis sama:

$$\log_a a = 1$$loga​a=1

5. Logaritma dari 1:

$$\log_a 1 = 0$$loga​1=0

Sifat 3 Logaritma

Dalam konteks artikel ini, Sifat 3 Logaritma biasanya merujuk pada sifat logaritma pangkat, yaitu:$$\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x$$loga​(xn)=n⋅loga​x

Sifat ini sangat penting untuk menyederhanakan soal logaritma, terutama soal yang melibatkan eksponen.

Contoh Soal Logaritma Sifat 3

Berikut adalah beberapa contoh soal yang menggunakan sifat logaritma pangkat, beserta pembahasan lengkapnya:

Soal 1

Hitung nilai berikut:$$\log_2 8^3$$log2​83

Pembahasan:

Gunakan sifat logaritma pangkat:$$\log_2 8^3 = 3 \cdot \log_2 8$$log2​83=3⋅log2​8

Karena $8 = 2^3$8=23, maka:$$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \cdot \log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$$log2​8=log2​23=3⋅log2​2=3⋅1=3

Sehingga:$$\log_2 8^3 = 3 \cdot 3 = 9$$log2​83=3⋅3=9

Jawaban: 9

Soal 2

Sederhanakan:$$\log_5 125^2$$log5​1252

Pembahasan:

Gunakan sifat logaritma pangkat:$$\log_5 125^2 = 2 \cdot \log_5 125$$log5​1252=2⋅log5​125

Karena $125 = 5^3$125=53, maka:$$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3 \cdot \log_5 5 = 3 \cdot 1 = 3$$log5​125=log5​53=3⋅log5​5=3⋅1=3

Sehingga:$$\log_5 125^2 = 2 \cdot 3 = 6$$log5​1252=2⋅3=6

Jawaban: 6

Soal 3

Jika $x = 16$x=16, hitung:$$\log_2 x^4$$log2​x4

Pembahasan:

Gunakan sifat logaritma pangkat:$$\log_2 16^4 = 4 \cdot \log_2 16$$log2​164=4⋅log2​16

Karena $16 = 2^4$16=24, maka:$$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4 \cdot \log_2 2 = 4 \cdot 1 = 4$$log2​16=log2​24=4⋅log2​2=4⋅1=4

Sehingga:$$\log_2 16^4 = 4 \cdot 4 = 16$$log2​164=4⋅4=16

Jawaban: 16

Soal 4

Sederhanakan:$$\log_3 9^5$$log3​95

Pembahasan:

Gunakan sifat logaritma pangkat:$$\log_3 9^5 = 5 \cdot \log_3 9$$log3​95=5⋅log3​9

Karena $9 = 3^2$9=32, maka:$$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \cdot \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$$log3​9=log3​32=2⋅log3​3=2⋅1=2

Sehingga:$$\log_3 9^5 = 5 \cdot 2 = 10$$log3​95=5⋅2=10

Jawaban: 10

Soal 5

Hitung nilai:$$\log_{10} 1000^2$$log10​10002

Pembahasan:

Gunakan sifat logaritma pangkat:$$\log_{10} 1000^2 = 2 \cdot \log_{10} 1000$$log10​10002=2⋅log10​1000

Karena $1000 = 10^3$1000=103, maka:$$\log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3 \cdot \log_{10} 10 = 3 \cdot 1 = 3$$log10​1000=log10​103=3⋅log10​10=3⋅1=3

Sehingga:$$\log_{10} 1000^2 = 2 \cdot 3 = 6$$log10​10002=2⋅3=6

Jawaban: 6

Tips Cepat Mengerjakan Soal Logaritma Sifat 3

1. Identifikasi bentuk pangkat: Jika bilangan di dalam logaritma berbentuk $a^n$an, langsung gunakan sifat $\log_a (a^n) = n$loga​(an)=n.
2. Gunakan faktorisasi: Jika bilangan besar, faktorkan menjadi basis yang sesuai. Contoh: $128 = 2^7$128=27 untuk logaritma basis 2.
3. Kalikan eksponen: Setelah memindahkan pangkat ke depan, kalikan dengan logaritma sederhana.
4. Gunakan sifat dasar logaritma: $\log_a 1 = 0$loga​1=0, $\log_a a = 1$loga​a=1 untuk mempermudah perhitungan.

Contoh Soal Campuran

Soal 6

Sederhanakan:$$\log_2 32^3 \cdot \log_5 25^2$$log2​323⋅log5​252

Pembahasan:

• Hitung $\log_2 32^3 = 3 \cdot \log_2 32$log2​323=3⋅log2​32
  Karena $32 = 2^5$32=25, $\log_2 32 = 5$log2​32=5 → $3 \cdot 5 = 15$3⋅5=15
• Hitung $\log_5 25^2 = 2 \cdot \log_5 25$log5​252=2⋅log5​25
  Karena $25 = 5^2$25=52, $\log_5 25 = 2$log5​25=2 → $2 \cdot 2 = 4$2⋅2=4

Sehingga:$$\log_2 32^3 \cdot \log_5 25^2 = 15 \cdot 4 = 60$$log2​323⋅log5​252=15⋅4=60

Jawaban: 60

Soal 7

Hitung:$$\log_4 16^3 – \log_2 8^2$$log4​163−log2​82

Pembahasan:

• $\log_4 16^3 = 3 \cdot \log_4 16$log4​163=3⋅log4​16
  $16 = 4^2$16=42, $\log_4 16 = 2$log4​16=2 → $3 \cdot 2 = 6$3⋅2=6
• $\log_2 8^2 = 2 \cdot \log_2 8$log2​82=2⋅log2​8
  $8 = 2^3$8=23, $\log_2 8 = 3$log2​8=3 → $2 \cdot 3 = 6$2⋅3=6

Sehingga:$$\log_4 16^3 – \log_2 8^2 = 6 – 6 = 0$$log4​163−log2​82=6−6=0

Jawaban: 0

Soal 8

Sederhanakan:$$2 \log_3 9 + 3 \log_3 27$$2log3​9+3log3​27

Pembahasan:

• $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \cdot 1 = 2$log3​9=log3​32=2⋅1=2
  → $2 \cdot \log_3 9 = 2 \cdot 2 = 4$2⋅log3​9=2⋅2=4
• $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3 \cdot 1 = 3$log3​27=log3​33=3⋅1=3
  → $3 \cdot \log_3 27 = 3 \cdot 3 = 9$3⋅log3​27=3⋅3=9

Sehingga:$$2 \log_3 9 + 3 \log_3 27 = 4 + 9 = 13$$2log3​9+3log3​27=4+9=13

Jawaban: 13

baca juga:Mahasiswi Informatika Universitas Teknokrat Indonesia Raih Juara III Nasional Desain Poster di IPB University

Kesimpulan

Sifat 3 logaritma atau sifat pangkat logaritma adalah salah satu alat terpenting untuk menyederhanakan soal logaritma yang terlihat sulit. Beberapa hal yang perlu diingat:

1. Gunakan sifat $\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x$loga​(xn)=n⋅loga​x untuk memindahkan eksponen.
2. Faktorkan bilangan menjadi pangkat basis logaritma agar mudah dihitung.
3. Kombinasikan dengan sifat logaritma lain seperti $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$loga​xy=loga​x+loga​y jika perlu.
4. Latihan soal sebanyak mungkin agar terbiasa dan cepat dalam mengerjakan soal ujian atau tes akademik.

penulis:putra