Berikut beberapa contoh soal cerita menggunakan induksi matematika beserta pembahasannya, cocok untuk latihan SMP/SMA tingkat menengah ke atas:

Contoh Soal 1 – Jumlah Bilangan Ganjil
Bukti dengan induksi matematika: Jumlah n bilangan ganjil pertama adalah $n^2$n2.

Soal Cerita:
Seorang guru ingin mengajari muridnya jumlah bilangan ganjil pertama. Misal, untuk n = 1 → 1, n = 2 → 1 + 3 = 4, n = 3 → 1 + 3 + 5 = 9, dan seterusnya. Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama = $n^2$n2.

Penyelesaian:
Langkah 1 (Basis) n = 1$$1 = 1^2 \, \text{benar}$$1=12benar

Langkah 2 (Asumsi Induksi)
Misal untuk n = k benar: $1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k^2$1+3+5+…+(2k−1)=k2

Langkah 3 (Langkah Induksi)
Buktikan untuk n = k+1:$$1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1) = (k+1)^2$$1+3+5+…+(2k−1)+(2(k+1)−1)=k2+(2k+1)=(k+1)2

Kesimpulan: Pernyataan benar untuk semua n ≥ 1

Baca juga:Strategi Lolos ACEPT UGM 2025 Materi Lengkap Dan

Contoh Soal 2 – Jumlah Deret Aritmatika
Bukti dengan induksi matematika: Jumlah n suku pertama deret 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

Soal Cerita:
Seorang pedagang menghitung jumlah total koin dari 1 sampai n koin. Buktikan dengan induksi bahwa jumlah koin = n(n+1)/2

Penyelesaian:
Basis: n = 1 → 1 = 1(1+1)/2 = 1 → benar

Asumsi Induksi: n = k → 1 + 2 + … + k = k(k+1)/2

Langkah Induksi: n = k+1$$1 + 2 + … + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2$$1+2+…+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2

Kesimpulan: Pernyataan benar untuk semua n ≥ 1

Contoh Soal 3 – Perkalian Berulang
Bukti dengan induksi matematika: $2^n > n$2n>n untuk n ≥ 1

Baca juga:Rektor Universitas Teknokrat Indonesia Apresiasi Kehadiran Ratusan Ribu Jamaah dan Partisipasi 300 Mahasiswa Teknokrat dalam Agenda Keagamaan Terbesar di Lampung

Soal Cerita:
Seorang siswa meneliti pertumbuhan populasi bakteri yang berlipat ganda setiap jam. Buktikan bahwa jumlah bakteri setelah n jam selalu lebih banyak dari n, yaitu $2^n > n$2n>n

Penyelesaian:
Basis: n = 1 → 2^1 = 2 > 1 → benar

Asumsi Induksi: n = k → 2^k > k

Langkah Induksi: n = k+1$$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k > k+1 \, \text{untuk k ≥ 1}$$2k+1=2⋅2k>2⋅k>k+1untuk k ≥ 1

Kesimpulan: Pernyataan benar untuk semua n ≥ 1

Penulis: okta